Жорданова форма матрицы

Пусть – характеристический многочлен оператора А и пусть , где – ядро оператора .

Займемся выбором базиса в каждом из корневых подпространств. Рассмотрим корневое подпространство .

Определение: Высотой корневого вектора называется наименьшее число n, такое, что .

Все корневые векторы, соответствующие собственному значению имеют высоты, не превосходящие кратности корня , т.е. имеют высоты, меньше, либо равные .

Пусть t – максимальная высота корневых векторов из , .

Если вектор имеет высоту k, то вектор имеет высоту . Поэтому в корневом подпространстве имеются векторы всех высот от 0 до t.

Для любого буквой обозначим множество всех векторов , таких, что . ()

Лемма 1: является подпространством корневого пространства .

Доказательство: Пусть

Возьмем произвольные , тогда:

– подпространство корневого пространства .

Очевидно, что справедлива лемма:

Лемма 2: , .

Пусть – произвольные линейно независимые векторы из , линейная оболочка которых в прямой сумме с подпространством дает все подпространство , которое совпадает с . Ясно, что это будут корневые векторы высоты t, , и никакая линейная комбинация векторов не принадлежит подпространству .

Лемма 3: Рассмотрим следующую систему векторов:

(1)

Система (1) линейно независима.

Доказательство: Пусть

Применим к обеим частям последнего равенства оператор .

В силу указанных высот линейная комбинация под действием оператора отобразится в нулевой вектор. Т.о., высота вектора меньше или равна . Это может быть лишь тогда, когда все коэффициенты .

Подействуем на обе части этого же равенства оператором и, аналогичным образом, получим, что и т.д.

В силу выбора векторов никакая ненулевая линейная комбинация векторов, стоящих в i-ой строке таблицы (1) не принадлежит подпространству .

Дополним векторы ,..., такими векторами ,..., из подпространства , чтобы вся совокупность была линейно независимой и ее линейная оболочка в прямой сумме с подпространством давала . Это будут корневые векторы высоты , .

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №24 (II семестр)

Тема: Жорданова форма матрицы.

Содержание:

Никакая линейная комбинация построенной системы векторов не принадлежит подпространству . Рассмотрим совокупность векторов:

(2)

По лемме 3 система (2) линейно независима, кроме того, никакая ненулевая линейная комбинация векторов i-ой строки таблицы (2) не принадлежит подпространству .

Аналогичным образом переходим к подпространствам , и т.д. Мы получили систему из векторов, принадлежащих корневому подпространству . Таблицы 1, 2,... заканчиваются таблицей, состоящей из одной строки:

. Эти векторы принадлежат пространству , т.е. являются собственными, .

Расположим таблицы последовательно слева направо и введем переобозначение:

(4)

Векторы, стоящие в первой строке, имеют высоту , во второй – , и т.д., в последней – 1. Т.е. векторы, стоящие в 1 последовательной строке оператором переводятся в нулевой вектор.

Каждый столбец таблицы определяет инвариантное подпространство оператора , и, следовательно, инвариантное подпространство оператора А. Это подпространство называется циклическим.

Первые столбцов таблицы определяют циклических подпространств размерности t, следующие столбцов определяют инвариантных относительно оператора А циклических подпространств размерности , и т.д. Последние столбцы определяют одномерные циклические подпространства. Их . Все корневое подпространство является прямой суммой циклических подпространств.

Напишем матрицу оператора, индуцированного оператором А в циклическом подпространстве: пусть например, в качестве базиса взяты векторы . Найдем: , , ,..., , откуда следует, что

,

Определение: Матрица вида называется жордановой клеткой или жордановым ящиком.

Построим матрицу оператора А, действующего в линейном пространстве X, беря в качестве базиса последовательное объединение базисов корневых подпространств , а в качестве базиса каждого корневого подпространства возьмем векторы таблицы (4), упорядоченные подряд снизу вверх и слева направо. Такой базис корневого подпространства называется корневым, а объединение корневых базисов, т.е. базис пространства X, построенный таким образом, называется каноническим. В каноническом базисе матрица оператора имеет вид:

Она называется жордановой формой матрицы.

Библиография:

1. Воеводин В.В. Линейная алгебра. СПБ.: Лань, 2008, 416 с.

2. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2006, 304 с.

3.Кострикин А.И. Введение в алгебру. часть II. Основы алгебры: учебник для вузов, -М.: Физико-математическая литература, 2000, 368 с.

Лекция №25 (II семестр)

Тема: Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Содержание: