Геометрический смысл двойного интеграла

Если , то

,

где - объём параллелепипеда, верхняя грань которого представляет собой часть поверхности , расположенной над прямоугольником :

Это свойство можно пояснить так: произведение есть ни что иное, как площадь прямоугольничка разбиения, т.е. площадь основания; - это высота параллелепипедика. Таким образом, умножая площадь основания на высоту, мы получаем объём параллелепипедика, расположенного над прямоугольничком с площадью и ограниченного сверху поверхностью. Знак двойного интеграла предполагает суммирование объёмов всех таких параллелепипедиков. Но сложение всех объёмов, естественно, приведёт нас к объёму большого параллелепипеда, что и утверждается этим свойством.

5. С помощью двойного интеграла можно вычислить площадь прямоугольника:

.

Это свойство является прямым следствием предыдущего свойства.