![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.
Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны, верно также обратное. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарными называются как сонаправленные, так и противоположно направленные вектора.
Для того чтобы два вектора плоскостибыли коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны
. По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения
.
Пример 1
а) Проверить, коллинеарны ли векторы .
б) Образуют ли базис векторы ?
Решение:
а) Выясним, существует ли для векторов коэффициент пропорциональности
, такой, чтобы выполнялись равенства
:
, значит, данные векторы коллинеарны.
Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной:
Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов:
Сокращаем:
, таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно,
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему:
Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что
, значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны.
Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис.
Упрощённая версия решения выглядит так:
Составим пропорцию из соответствующих координат векторов :
, значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис.
Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так:
. Или так:
. Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя).
Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не коллинеарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения:
1) векторы линейно зависимы;
2) векторы не образуют базиса;
3) векторы коллинеарны;
4) векторы можно линейно выразить друг через друга;
+ 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю.
Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю:
Решим Пример 1 вторым способом:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, данные векторы коллинеарны.
б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы
линейно независимы и образуют базис.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 256 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!