Понятие продуктивности. Условия продуктивности матриц. Примеры

Матрица А называется продуктивной, если для любого y ≥0 существует x ≥0 – решение уравнения (Л)

(Л) <=> x – Аx = y <=> (E-A)x = y

Матрица А продуктивна <=> существует (E-A)^-1

(E-A)^-1≥0 => для любого y ≥0 x=(E-A)^-1y ≥0

=> беря по очереди y = e₁, e₂, …, e_n ≥0 получаем столбцы матрицы (E-A)^-1:

столбцы единичной матрицы

(E-A|E) ^Э2,Э2,Э3 (E|(E-A)^-1)

(E-A)^-1≥0

Теорема Перрона-Фробениуса:

1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А≥0: λ_А≥0

2. При собственном значении λ_А существует неотрицательный собственный вектор

3. Матрица продуктивна <=> λ_А<1

Запас продуктивности – α_А= λ_А^-1 -1

Пример:

0,3 1,2

А= 0,4 0,1

0.3- λ 1.2

|A- λE|= 0.4 0.1- λ = 0

λ₁=0.9 – число Фробениуса; λ₂= -05

α_А= 10/9 – 1 = 1/9 – запас продуктивности