БИЛЕТ #22 Собственные векторы и собственные значения матриц: определения, свойства, примеры

Собственным вектором квадратной матрицы А порядка n называется ненулевой n-мерный

x₁

вектор-столбец x = x₂ такой, что Аx=λx, где λ – некоторое число. Число λ называется

…

x_n

собственным значением матрицы А. При этом говорят, что вектор x является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению λ.

Пример:

1 2

А= 4 3

Соотношение выглядит следующим образом:

1 2 x₁ x₁

4 3 x₂ = λ x₂

Решаем характеристическое уравнение, корни которого будут собственными значениями матрицы:

1-λ 2

|А-λЕ|= 4 3-λ = λ²-4 λ-5=0

λ₁=5 и λ₂= -1 – собственные значения

Каждое полученное число подставляется в матричное равенство, после чего это равенство представляет собой СЛУ, решения которых будут собственные векторы, принадлежащие данному собственному числу.

(А- λ_1,2Е)X=0

1/2

Х₁= s 1, s ≠0

-1

X₂= t 1, t ≠0

Характеристическое уравнение может не иметь корней. Тогда у матрицы нет и собственных векторов.