Ранг матрицы: определение, свойства, способы вычисления

Число r называется рангом матрицы A, если:
1) в матрице A есть минор порядка r, отличный от нуля;
2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.
(Минором прямоугольной матрицы называется определитель, составленный из чисел, которые находятся на пересечении различных строк и различных столбцов матрицы. Число называют порядком минора.)

Определение по методу Гаусса:
Ранг матрицы – это число ненулевых строк в ее ступенчатом виде, то есть для нахождения ранга матрицы нужно с помощью преобразований привести матрицу к ступенчатому виду и сосчитать число ненулевых строк.

Алгоритм нахождения ранга матрицы с помощью миноров:
1) необходимо начать перебор и вычисление миноров 2-го порядка. Если ВСЕ миноры 2-го порядка окажутся нулевыми, то ранг матрицы равен единице. Но это крайне маловероятно, рано или поздно (чаще всего рано), встретится ненулевой минор , и данный факт означает, что ранг матрицы не менее двух.

2)На следующем шаге последовательно перебираем и рассчитываем миноры 3-го порядка. Если ВСЕ эти миноры равны нулю, то ранг=2. Если же встретился минор , то делаем вывод о том, что ранг матрицы не менее трёх и переходим к следующему шагу.

3)Перебор и вычисление миноров 4-го порядка. Если ВСЕ миноры 4-го порядка равны нулю, то ранг=3, если встретился минор , то ранг=4.

Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

Есть еще алгоритм окаймляющих миноров, но он мне не нравится. Так понятнее гораздо.