Формы записи комплексных чисел

Комплексным числом называется выражение а+bi где а и b – действительные числа. а i – некоторый символ.

Аргумент комплексного числа находится из условия

Отсюда следует Следовательно Полученное выражение называется

Тригонометрическая форма комплексного числа удобна для выполнения операций умножения и связанных с нею операций деления, возведения в степень и извлечения корня.

Выражение называется формулой Эйлера. Пусть дано комплексное число

Заменяя по формуле Эйлера получим . Полученная форма комплексного числа называется

Показательная форма комплексного числа удобна для выполнения ряда операций над комплексными числами.

5. Определение производной, её геометрический смысл.

ОТВЕТ:

Производной функцией точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при , если этот предел существует, и обозначается

Геометрический смысл производной: производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точку (; )

Уравнение касательной к графику функции имеет вид:

6. Определение неопределённого интеграла, его свойства.

ОТВЕТ:

Дифференцируемая функция , определенная на некотором промежутке Х, называется для функции , определенной на этом же промежутке, если для всех Х из этого промежутка

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом (читается: интеграл эф от икс де икс).

Если является первообразной для функции на промежутке , то .

Функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, символ - знаком неопределенного интеграла, - постоянной интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла.

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.

2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению.

3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

5) Интеграл от суммы непрерывных функций равен сумме интегралов слагаемых.

7. Определённый интеграл, его свойства.

ОТВЕТ:

Приращение любой из первообразных функций при изменении аргумента от до называется определенным интегралом от до и обозначается (читается: «интеграл от до эф от икс де икс»). Числа и называются пределами интегрирования, - нижним, - верхним. Отрезок называется пределом интегрирования. Функция называется подынтегральной функцией, а переменная - переменной интегрирования.

Таким образом, по определению .

Это равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Если интегрируемая на отрезке функция неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , осью абсцисс и прямыми и , т.е. . (1)

Основные свойства определенного интеграла.

1. По определению

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е.

.

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов т.е. .

4. Каковы бы ни были числа имеет место равенство . 5. Если функция неотрицательна на отрезке , где , то

Чтобы вычислить определенный интеграл , нужно:

1) Найти соответствующий неопределенный интеграл ;

2) В полученном выражении подставить вместо сначала верхний предел , а затем нижний предел , и из результата первой подстановки вычесть результат второй.

Коротко это правило записывается в виде формулы так:

.