Центральная предельная теорема (ЦПТ) для независимых одинаково распределенных СВ. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Пусть –последовательность независимых, одинаково распределенных с.в., имеющих одинаковые МО и дисперсии: , . Тогда при равномерно по или, что эквивалентно функции распределения с.в. слабо сходится к ФР.

,

Говорят, что последовательность с.в.: слабо сходится к стандартному нормальному ЗР. Т.к. , а , то утверждение ЦПТ также можно записать в виде

Доказательство:

Обозначим (стандартизированная с.в.). , , . . Т.к. , то требуется доказать, что .

Вычислим ХФ с.в. .

.

ХФ можно разложить в ряд Тейлора МО и дисперсию: , .

Подставляя это выражение, взятое в точке в выражение для , получаем:

.

Устремляя и используя замечательный предел, получаем: .

В пределе мы получим ХФ .

По теореме непрерывности можно сделать вывод о слабой сходимости функции распределения

При этом поскольку предельная функция распределения является непрерывной на , то сходимость является равномерной .

Следствие. (интегральная теорема Муавра-Лапласа)

– число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в отдельно взятьм испытании , т.е. .

Тогда при равномерно по

или

В частности, при больших :

Доказательство:

Доказательство первого утверждения слеудет из того, что

,

,

Второе утверждение следует из свойств слабой сходимости.

Если – последовательность независимых разнораспределенных с.в., то для справедливости ЦПТ уже необходимы некоторые ограничения. Наиболее общим результатом является следующая теорема.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\