![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
В действительности требования конечности дисперсии в ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с.в. связано исключительно со способом доказательства и на самом деле это утверждение остается справедлвым и без предположения конечности дисперсии.
Теорема Хинчина. Любая последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО
, подчиняется ЗБЧ, т.е.
.
Доказательство:
Т.к. сходимость по вероятности к константе эквивалентна слабой сходимости (см. Лемму), то достаточно доказать слабую сходимость.
В соответствии с теоремой о непрерывности эта сходимость имеет место, если ил тоько если ХФ
Вычислим ХФ .
Так как МО существует и равно
, то ХФ
можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0.
.
Следовательно, ХФ
При , используя замечательный предел
, получаем:
На самом деле в условии теоремы Хинчина имеет место сходимость не только по вероятности, но и почти наверное.
Теорема Колмогорова (Усиленный ЗБЧ)
Если – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО
, то
Центральная предельная теорема. (ЦПТ)
Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО и дисперсии
Пусть . Тогда в соответствии с ЗБЧ
или, в соответствии со свойствами сходимости по вероятности:
Возникает вопрос:
При делении на в пределе получается 0. Нельзя ли поделить на что-то, возрастающее к
медленнее, чем
, чтобы предел не был равен нулю.
Оказывается, что уже к нулю не стремится, при этом
становится все более похоже на нормальный ЗР, т.е. имее место слабая сходимость последовательности ФР с.в.:
к ФР нормального закона.
Это и есть смысл ЦПТ.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 539 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!