Теорема Хинчина. Понятие об усиленном ЗБЧ

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

В действительности требования конечности дисперсии в ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с.в. связано исключительно со способом доказательства и на самом деле это утверждение остается справедлвым и без предположения конечности дисперсии.

Теорема Хинчина. Любая последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО , подчиняется ЗБЧ, т.е.

.

Доказательство:

Т.к. сходимость по вероятности к константе эквивалентна слабой сходимости (см. Лемму), то достаточно доказать слабую сходимость.

В соответствии с теоремой о непрерывности эта сходимость имеет место, если ил тоько если ХФ

Вычислим ХФ .

Так как МО существует и равно , то ХФ можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 0.

.

Следовательно, ХФ

При , используя замечательный предел , получаем:

На самом деле в условии теоремы Хинчина имеет место сходимость не только по вероятности, но и почти наверное.

Теорема Колмогорова (Усиленный ЗБЧ)

Если – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО , то

Центральная предельная теорема. (ЦПТ)

Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечное МО и дисперсии

Пусть . Тогда в соответствии с ЗБЧ

или, в соответствии со свойствами сходимости по вероятности:

Возникает вопрос:

При делении на в пределе получается 0. Нельзя ли поделить на что-то, возрастающее к медленнее, чем , чтобы предел не был равен нулю.

Оказывается, что уже к нулю не стремится, при этом становится все более похоже на нормальный ЗР, т.е. имее место слабая сходимость последовательности ФР с.в.:

к ФР нормального закона.

Это и есть смысл ЦПТ.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\