Свойства ХФ

,

Доказательство:

ХФ существует у любых с.в.

Доказательство:

– неотрицательно определенная функция, т.е. ,

Доказательство:

Замечание. На самом деле верно более сильное утверждение, известное как теорема Бохнера-Хинчина:

Для того, чтобы непрерывная функция , удовлетворяющая условию была ХФ, необходимо и достаточно, чтобы она была неотрицательно определенной.

Если , является абсолютно-интегрируемой , то для ее неотрицательной определенности необходимо и достаточно, чтобы преобразование Фурье: .

является равномерно непрерывной

Доказательство:

Если для можно выбрать такое, что: , поэтому

.

Во втором интеграле : .

За счет выбора , значит можно сделать

, что и значит равномерную непрерывность функции.

:

Доказательство:

ХФ суммы независимых с.в. равна произведению ХФ слагаемых. Если с.в. – независимые, а , то

Доказательство:

Следует из свойств МО независимых с.в.

Если у с.в. существует момент -го порядка: , то ее ХФ является раз непрерывно дифференцируемой и при этом . В частности, , ,

Доказательство:

1) – НСВ: и

Формальное дифференцирование раз по дает:

Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из того, что

2) – ДСВ: и

Формальное дифференцирование раз по дает:

Если существует момент -го порядка у с.в. : , то ее в окрестности точки разлагается в ряд Тейлора вида:

.

Формула обращения.

Если – ФР с.в. , а – ее ХФ, то , где является непрерывной, справедлива формула:

.

Следствие 1:

Если – абсолютно интегрируемая:

, то с.в. – непрерывная и ее – обратное преобразование Фурье от .

,

Доказательство:

Докажем для НСВ: – абсолютный интеграл.

Так как – НСВ: . В силу абсолютной интегрируемости существует обратное преобразование Фурье: .

Проинтегрируем обе части по в пределах от до :

Следствие 2. Абсолютно интегрируемая функция : , удовлетворяющая свойствам и , является характеристической тогда и только тогда, когда ее преобразование Фурье всюду неотрицательно: для любого .

▲ В этом случае преобразование Фурье , где - плотность вероятностей некоторой непрерывной случайной величины , являющаяся функцией неотрицательной для любого ■.

Замечание. Фактически утверждение следствия 2 позволяет проверять свойство неотрицательной определенности абсолютно интегрируемой функции . Если функция , удовлетворяющая свойствам и , абсолютно интегрируемой не является, но допускает представление в виде ряда Фурье , то она является характеристической функцией (и, следовательно, обладает свойством неотрицательной определенности) дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями .

Следствие 3 (теорема единственности).

Характеристическая функция случайной величины однозначно определяет ее функцию распределения .

▲ Следует из формулы обращения и того, что разности при любых однозначно определяют функцию распределения ■.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\