Непрерывные случайные величины. 5. Равномерная случайная величина

5. Равномерная случайная величина .

Плотность вероятностей случайной величины , равномерно распределенной на отрезке , имеет вид:

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

По определению характеристической функции непрерывной случайной величины (4.23) имеем:

.

В частности:

если , то ;

если , то характеристическая функция является вещественной (см. свойство )

.

Окончательно,

.

6. Показательная (экспоненциальная) случайная величина .

Плотность вероятностей показательно распределенной случайной величины имеет вид:

Найдем характеристическую функцию случайной величины :

.

Окончательно,

.

7. Нормальная (гауссовская) случайная величина .

Плотность вероятностей нормально распределенной с параметрами случайной величины имеет вид:

.

Найдем характеристическую функцию случайной величины .

Известно, что случайную величину можно получить с помощью линейного преобразования , где . Поэтому найдем вначале характеристическую функцию стандартной нормальной случайной величины , а затем используем свойство для нахождения .

.

(при выкладках были использованы аналитичность подинтегральной функции на всей плоскости и интеграл Пуассона).

В соответствии со свойством имеем: .

Окончательно,

.

Пример. Заданы две независимые нормальные случайные величины: и . Найти плотность вероятностей случайной величины или, другими словами, найти композицию двух нормальных законов распределения.

Решение. Известно, что характеристические функции случайных величин и имеют вид:

и .

В соответствии со свойством характеристическая функция случайной величины равна произведению характеристических функций слагаемых:

.

Но в силу теоремы единственности (следствие 3 из формулы обращения ) это означает, что случайная величина имеет также нормальный закон распределения: .

Замечание. Законы распределения, сохраняющиеся при линейных преобразованиях над случайными величинами, называются устойчивыми. Рассмотренный пример доказывает устойчивость нормального закона распределения. Устойчивыми также являются биномиальный и пуассоновский законы распределения (показать самостоятельно).

Задача. Используя характеристические функции, найти все центральные моменты случайной величины .

Замечание (о производящих функциях).

Пусть - дискретная случайная величина, принимающая целые неотрицательные значения, закон распределения которой известен, то есть известно ее множество возможных значений и вероятности значений .

Производящей функцией целочисленной случайной величины называется функция комплексной переменной , определяемая при равенством .

Производящая функция является аналитической внутри единичного круга и по ней закон распределения целочисленной случайной величины X однозначно определяется равенствами:

, где , k³0.

Так как есть характеристическая функция целочисленной случайной величины , то для производящих функций остаются справедливыми все свойства характеристических функций с теми лишь изменениями, которые вытекают из замены аргумента. Но использование на практике производящих функций при исследовании целочисленных случайных величин существенно проще, чем характеристических.

В частности (показать самостоятельно):

производящая функция суммы независимых целочисленных случайных величин равна произведению производящих функций слагаемых: ;

моменты первых двух порядков целочисленной случайной величины определяются через ее производящую функцию равенствами:

, , .

Задача 1. Найти производящие функции случайных величин , , и по ним определить их числовые характеристики и .