Статистическая модель. Генеральная совокупность (ГС), выборка, объем выборки. Простейшие способы представления статистических данных

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Вероятностная модель случайных явлений основана на понятии вероятностного пространства . При этом в каждой конкретной ситуации вероятность считается полностью известной числовой функцией на -алгебре , т.е. считается известной. Задача теории вероятностей состоит в том, чтобы находить вероятности сложных событий через известные вероятности простых событий. Однако на практике вероятность как правило неизвестна. Можно только предположить, что истинная вероятность является элементом некоторого класса вероятностей , допустимых для описания данного случайного явления.

Тройка – статистическая модель.

Цель математической статистики в общем случае – уточнение вероятностной модели случайного явления, т.е. отыскание истинной вероятности или близкой к ней, основываясь на наблюдаемых результатах эксперимента, называемых статистическими данными.

В классической МС имеют дело со случайными экспериментами, состоящими в проведении повторных независимых наблюдений над с.в. , имеющей неизвестное распределение вероятностей, т.е. имеющей неизвестную .

В этом случае множество всех возможных значений с.в. называют генеральной совокупностью.

Числа , , являющиеся результатом независимых наблюдений над с.в. , называют выборкой из генеральной совокупности, – объемом выборки.

Задача математической статистики: как по выборке из генеральной совокупности, иеющей ФР , извлекая из нее максимум информации, сделать обоснованные статистические выводы о неизвестных вероятностных характеристиках с.в. .

Замечание. Обосновать качество статистических выводов на основе одной конкретной выборки принципиально нельзя. Выборка – это чисел, случайно отобранных из генеральной совокупности. И то, что верно для одной выборки, может оказаться неверным для другой.

Поэтому при рассмотрении теоретических вопросов и задач, когда необходимо получить результат, справедливый для любой выборки, на выборку следует смотреть как на случайный вектор , у которого все координаты независимы и распределены так же, как и с.в. .

В этом случае – копии с.в. . Т.е. смотреть на выборку априорно на случайный вектор , который еще не принял своего конкретного значения .

Под статистической моделью, отвечающей повторным неизменным наблюдениям над с.в. , понимают тройку , где:

– генеральная совокупность,

– борелевская -алгебра подмножеств,

– класс допустимых функций распределения для с.в. , к которому принадлежит и истинная неизвестная ФР.

Если ФР из класса заданы с точностью до значений параметра , принимающего значения множества (т.е. ), то статистическую модель называют параметрической. При этом говорят, что известен тип распределения наблюдаемой с.в., а неизвестен только параметр, от которого распределение зависит. может быть как скаляром, так и вектором.

Статистические модели бывают непрерывными (НСВ) и дискретными (ДСМ), в соответствии с тем, какой является наблюдаемая с.в.

Пример непрерывной параметрической модели.

– общая параметрическая нормальная модель. Наблюдаемая с.в. имеет нормальный ЗР с неизвестными .

.

имеют плотности вероятностей

Пример дискретной параметрической модели:

– дискретная с.в., имеющая пуассоновский ЗР с неизвестным параметром .

: ,

Задачи, решаемые в математической статистике, можно разбить на две большие группы:

1) Задачи, связанные с определением неизвестного ЗР наблюдаемой с.в. и параметров в него входящих. Задачи решаются в рамках теории оценивания.

2) Задачи, связанные с проверкой гипотез относительно ЗР наблюдаемой с.в.. Решаются в рамках теории проверки статистических гипотез.