Сходимость распределений (слабая сходимость) и ее связь со сходимостью по вероятности. Теорема непрерывности

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Сходимость распределений (слабая сходимость).

Это еще один способ характеристики близости СВ, основанный на понятии сходимости их ФР друг к другу.

Пусть заданы последовательность случайных величин , имеющих функции распределения , и случайная величина с функцией распределения . Было бы естественно считать, что, если случайная величина , то ее закон распределения сходится при к закону распределения случайной величины . Однако требовать при этом равномерную сходимость ФР величин , неразумно, т.к. она не будет иметь место, если ФР с.в. имеет хотя бы один разрыв. Поэтому сходимость ФР понимают в смысле следующего определения.

Опр. Пусть – последовательность с.в., имеющих ФР , – с.в. с ФР . Говорят, что слабо сходится к ФР , если в каждой точке , являющейся точкой непрерывности предельной ФР и пишут

Смысл слабой сходимости – это поточечная сходимость ФР в точках непрерывности предельной ФР.

При этом также говорят, что слабо (или по распределению) сходится к СВ :

Важно выделить следующий частный случай:

Лемма. Если предельная ФР является непрерывной, то (слабая сходимость) эквивалентна равномерной сходимости: .

Лемма. (Соотношение между слабой сходимостью и сходимостью по вероятности).

1) Из сходимости по вероятности следует слабая сходимость

2) Если предельное распределение является вырожденным, то слабая сходимость и сходимость по вероятности эквивалентны:

если , то

Доказательство:

1) Пусть – точка непрерывности . Докажем, что если , то

Оценим вероятности и сверху и снизу:

Для :

Для :

.

Так как , то , т.е.

При

2)

имеет место для , являющихся точкой непрерывности предельной Р, т.е. для .

Докажем, что .

т.к. точки и – точки непрерывности . Т.е. .

В отличие от сходимости по вероятности слабая сходимость не сохраняется при операциях сложения и умножения СВ. Это справедливо только когда одно из распределений является вырожденным.

Свойства:

1. Если , , то

2. Если , , то

Замечательный факт состоит в том, что слабую сходимость распределений можно полностью охарактеризовать с помощью ХФ.

Теорема непрерывности.

Пусть – последовательность ФР, а – последовательность соответствующих им ХФ.

Для слабой сходимости необходимо и достаточно, чтобы , где – ХФ, соответствующая ФР .

Смысл теоремы: она устанавливает, что соответствие между ФР и ХФ является не только взаимно однозначным, но и непрерывным в том слмысе, что пределу в классе ФР оносительно слабой сходимости соответствует предел в классе ХФ относительно поточечной сходимости.

Теорема непрерывности является основным средством доказательства теорем о слабой сходимости распределения на числовой прямой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\