Характеристические функции случайных векторов

Характеристической функцией случайного вектора называется комплекснозначная функция вещественных переменных, определяемая для любого равенством:

или в векторной форме ,

где означает скалярное произведение векторов.

Характеристическая функция случайного вектора обладает всеми свойствами (с очевидными изменениями в формулировках) одномерной характеристической функции. Но есть и дополнительные полезные свойства.

По характеристической функции случайного вектора можно найти характеристическую функцию любой группы из его координат . Для этого следует положить аргументы при .

Так, например, характеристическая функция «отрезка» случайного вектора равна ,

а характеристическая функция любой координаты вектора равна

.

Если - характеристическая функция случайного вектора , то характеристическая функция суммы его координат равна ,

то есть следует положить все .

Задача 1. Найти характеристическую функцию двумерного нормального случайного вектора .

Ответ: .

Задача 2. Найти характеристическую функцию суммы двумерного нормального случайного вектора и по ней определить закон распределения случайной величины .

Ответ: .

Задача 3. Найти характеристическую функцию многомерного нормального случайного вектора .

Ответ: .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\