Закон больших чисел (ЗБЧ) для последовательностей СВ. Теоремы Маркова и Чебышева

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Опр. Говорят, что последовательность с.в. , имеющих конечное МО подчиняется закону больших чисел, если

, т.е.

Важно выделить частный случай, когда у всех с.в. одинаковы . Тогда (5) принимает вид: или .

В частности ЗБЧ имеет вид (5') для одинаково распределенных с.в.

Приведем несколько вариантов ЗБЧ, причем начнем с наиболее общего из них.

Теорема 1. (Маркова) (ЗБЧ для зависимых разнораспределенных с.в.)

Пусть – последовательность с.в., имеющих конечные МО () и дисперсии (). Тогда если выполняется условие

(условие Маркова),

то эта последовательность подчиняется ЗБЧ, т.е. имеет место (5).

Доказательство:

Пусть , тогда по свойствам МО и дисперсии: , .

В силу неравенства Чебышева (2) имеем: , , но (в силу условия Маркова). Поэтому, переходя в обеих частях последнего неравенства к пределу при получаем, что , что и означает (5).

Теорема 2. (Теорема Чебышева) (ЗБЧ для некоррелированных разнораспределенных с.в.)

Пусть – последовательность попарно некоррелированных (в частности, попарно независимых) с.в., имеющих конечные МО () и равномерно ограниченные дисперсии (). Тогда эта последовательность с.в. подчиняется ЗБЧ (5).

Доказательство:

Пусть , тогда по свойствам МО и дисперсии: , .

В силу неравенства Чебышева (2): . Поскольку правая часть стремится к нулю при , то и , т.е. , что и означает (5).

Замечание: Теорема 2 Чебышева является фактически следствием теоремы 1 Маркова, поскольку из равномерной ограниченности дисперсии следует условие Маркова, что и было продемонстрировано при доказательстве. Следует отметить, что теорема 2 Чебышева справедлива и при более слабом условии, чем равномерная ограниченность дисперсии: .

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

ЗБЧ для последовательностей независимых одинаково распределенных СВ. Задача об измерениях. Теорема Бернулли и ее применение.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Теорема 3. (ЗБЧ для независимых одинаково распределенных с.в.)

Пусть – последовательность независимых одинаково распределенных с.в., имеющих конечные МО и дисперсии . Тогда эта последовательность подчиняется ЗБЧ, т.е.

или

Доказательство:

Пусть , тогда и по свойствам дисперсии: .

В силу неравенства Чебышева (2): . Поскольку , то и , т.е. , что и означает (5).

Замечание. Утверждение теоремы 3 остается справедливым и без предположения о конечности дисперсии с.в. . Это составляет утверждение теоремы Хинчина.

Классическим примером применения ЗБЧ на практике является следующая задача об измерениях условных помех.

Предположим, что производится измерения некоторой физической величины . В действительности результат измерения есть значение с.в. , где – случайная погрешность измерения, имеющая .

Для повышения точности измерения величины на практике всегда поступают следующим образом: измерение производят как можно в большем количестве в неизменяемых условиях и независимо друг от друга. При этом получают результаты . В качестве приближенного значения величины принимают среднее арифметическое всех результатов измерения. (6).

Законы больших чисел позволяют ответить на следующие вопросы:

1) указать точный смысл приближенного равенства (6)

2) определить точность приближенного равенства (6)

3) указать условия, при которых приближенное равенство (6) имеет место.

1) наблюдений над с.в. эквивалентно одному наблюдению над с.в. , являющимися независимыми и распределенными так же, как с.в. . ,

Из теоремы 3 следует , а это значит, что для больших :

может быть сделано сколь угодно близко к 1. Это и есть приближенное равенство (6). Т.е. (6) является практически достоверным но не абсолютным.

2) Точность равенства (6) характеризуется .

Из теоремы 3 следует, что , которая оказывается в раз выше чем точность одного измерения, равного .

3) В соответствие с теоремой 3 с.в. должны быть независимы и одинаково распределены, поэтому на практике и следует стремиться к соблюдению этих условий измерения.

Теорема 4. (Теорема Бернулли).

Если в последовательности независимых испытаний, проводимых по схеме Бернулли вероятность наступления события является неизменной и равной , то :

, где называется относительной частотой появления , т.е. .

Доказательство:

­– число появлений в -ом испытании .

С.в. принимает 2 значения: 0 или 1. , .

Последовательность с.в. есть последовательность независимых, одинаково распределенных с.в. При этом : , . В силу теоремы 3 , что и требовалось доказать.

Теорема Бернулли является обоснованием статистического определения вероятности, в соответствии с которым за неизвестную вероятность события принимается его известная частота появления события в независимых испытаниях.

.

Теорема Бернулли утверждает, что действительно, при больших верность неравенства для сколь угодно малого при достаточно большом может быть сделано сколь угодно близко к единице.

Замечание:

Пусть , есть число успехов в независимых испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании , поэтому с.в. может быть представлена в следующем виде: , – с.в. из доказательства Бернулли:

Из этого представления с.в. свойства МО и дисперсии и того, следует, что – другой способ нахождения ЧХ наряду с их непогрешимым подсчетом.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\