Виды сходимости последовательностей с.в. и связи между ними

Как в анализе, в теории вероятностей существует несколько видов сходимостей. Наиболее важными являются 3 из них:

1) сходимость по вероятности

2) сходимость почти наверное

3) сходимость в среднем.

Пусть на вероятностном пространстве задана последовательность с.в. и с.в. .

Опр. Говорят, что последовательность с.в. сходится по вероятности к величине , если или и кратко записывают:

или

Опр. Говорят, что последовательность с.в. сходится почти наверно к величине (п.в. или с вероятностью 1), если:

И кратко записывают: или .

Другими словами, , если при для всех , за исключением, быть может, , . Это можно назвать поточечной сходимостью.

Опр. Говорят, что последовательность с.в. сходится к с.в. в среднем порядка , если , и записывают: – сходимость в среднем, – Гембертово пространство.

Сходимость в среднем порядка называют сходимостью в среднем квадратическом и обозначают: или , где расшифровывается как «limit in the mean».

Смысл сходящейся с.в.: понятие предела существует только для числовой последовательности, поэтому случайность под знаком предела должна быть ликвидирована либо с помощью вероятности (в определении первом), либо с помощью МО (в определении третьем), со своим понятием близости между и .

Лемма. (связь между видами сходимости)

1) из сходимости почти наверное следует сходимость по вероятности.

2) Из сходимости в среднем следует сходимость по вероятности:

Обратное в 1) и 2) в общем случае не верно.

Вывод: сходимость по вероятности является самой слабой из всех трех видов сходимостей.

Доказательство:

1) или

Переходя к противоположному событию получим:

(3) или (4)

Поскольку , то, переходя к пределу с учетом (4) получим: , т.е.

Докажем эквивалентность (3) и (4). Покажем, что .

Поскольку из (4) следует, что правая часть стремится к нулю при , значит, и левая часть стремится к нулю; следовательно, .

Докажем, что :

Пусть . Так как и с учетом (3), то по аксиоме непрерывности получаем , т.е. (4)

2) Из неравенства Чебышева при фиксированном и следует, что

Поскольку , т.е. .

Отметим некоторые свойства сходимости по вероятности, необходимые в дальнейшем:

1) Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимости свойствами:

Если , , то и

2) Сходимость по вероятности сохраняется под действием непрерывной функции, а именно если и – непрерывная, то . В частности, если , то

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\