Неравенство Чебышева

Для любой СВ , имеющей конечную дисперсию (), справедливы неравенства:

и

Доказательство:

Из леммы следует, что .

Неравенство Чебышева дает простую оценку вероятности отклонения СВ с произвольным законом распределения от ее МО. Причем, если о СВ ничего не известно, кроме ее числовых характеристик, то оценка не улучшаема, (когда в (3) стоит равенство). Если же о СВ имеется дополнительная информация, например известен ее закон распределения, то оценки (3) и (3') могут быть существенно улучшены, притом существенно.

Пример:

(в соответствии с «правилом »).