Понятие о моментах

Наряду с рассмотренными выше числовыми характеристиками случайных векторов, в приложениях используются также и моменты более высоких порядков.

Если задан случайный вектор , то величины

и

называются начальными и центральными смешанными моментами порядка соответственно (). Вычисляются моменты более высоких порядков по формулам для , вытекающим из обобщения ОТМО на многомерный случай.

В частности,

.

Пример 1. Закон распределения случайного вектора задан таблицей:

-1	0,1	0,2
	0,3		0,1
	0,1	0,2

Найти: 1) законы распределения случайных величин и . Являются ли случайные величины и независимыми?

2) корреляционную матрицу. Являются ли случайные величины и некоррелированными?

3) условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение, равное 0; вычислить и .

Решение. 1) Для случайной величины вероятности её значений находятся суммированием вероятностей в -ой строке таблицы ():

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	-1
	0,3	0,4	0,3

Вероятности значений случайной величины находятся суммированием вероятностей в -ом столбце таблицы ():

.

Поэтому закон распределения случайной величины имеет вид:

	0,5	0,4	0,1

Условием независимости случайных величин и является равенство:

, для всех .

Поскольку в данном случае

, то

и, следовательно, случайные величины и зависимы.

2) Найдем математические ожидания случайных величин и , используя одномерные законы распределения:

;

.

Найдем далее дисперсии и по одномерным законам распределения:

;

.

Корреляционный момент находится только по совместному закону распределения случайных величин и :

(отсутствующие слагаемые равны 0).

Поскольку корреляционный момент , то случайные величины и являются некоррелированными.

Корреляционная матрица имеет вид:

.

3) Условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина определяется совокупностью условных вероятностей:

,

которые равны: .

Записывается условный закон распределения случайной величины при условии, что случайная величина в виде таблицы:

Найдем условное математическое ожидание :

.

Условная дисперсия вычисляется по формуле:

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\