Числовые характеристики случайных векторов. Корреляционная матрица и ее свойства. Понятие о моментах случайных векторов

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Рассмотрим вначале двумерный случайный вектор .

Прежде, чем приводить соответствующие определения, сформулируем обобщение основной теоремы о математическом ожидании (ОТМО) на случай функции двух переменных .

Теорема (обобщение ОТМО на двумерный случай).

Пусть - некоторый случайный вектор, закон распределения которого известен, - неслучайная функция, область определения которой содержит множество возможных значений случайного вектора , - случайная величина, являющаяся функцией двух случайных аргументов.

1. Если - дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями , и ряд сходится, то у случайной величины существует математическое ожидание и .

2. Если - непрерывный случайный вектор с плотностью вероятностей и несобственный интеграл сходится, то у случайной величины существует математическое ожидание и

.

Заметим, что приведенная теорема очевидным образом обобщается и на случай функции переменных .

Теперь перейдем к рассмотрению числовых характеристик случайных векторов.

Основными числовыми характеристиками двумерного случайного вектора являются:

· математическое ожидание - вектор, координатами которого являются математические ожидания случайных величин и (характеризует координаты средней точки, около которой группируются другие значения вектора );

· дисперсия - вектор, координатами которого являются дисперсии случайных величин и (характеризует степень разброса (рассеивания) значений вектора около его среднего значения );

· корреляционный момент случайных величин и , которым называется математическое ожидание произведения отклонений этих случайных величин относительно их математических ожиданий:

. (3.17)

Как будет показано далее, корреляционный момент характеризует степень линейной зависимости между случайными величинами и .

Для корреляционного момента справедливо также следующее выражение:

.

Таким образом, наряду с (3.12),

. (3.18)

Корреляционный момент обладает следующими двумя очевидными свойствами:

1. ;

2. .

Благодаря этим свойствам, вектор дисперсий можно не рассматривать как самостоятельную числовую характеристику, а использовать объединенную характеристику – корреляционную матрицу, элементами которой являются всевозможные корреляционные моменты:

.

Таким образом, можно считать, что случайный вектор имеет две основные числовые характеристики:

· математическое ожидание ;

· корреляционную матрицу .

Математические ожидания и дисперсии координат случайного вектора могут быть вычислены как по двумерному закону распределения с помощью обобщения ОТМО на двумерный случай, так и по обычным формулам через одномерные законы распределения случайных величин и .

Так, если - дискретный случайный вектор, то при имеем:

, где ,

а при или

, где .

Аналогичны выражения для и (написать самостоятельно).

Корреляционный момент вычисляется с помощью обобщения ОТМО на двумерный случай, когда функция или и только через двумерный закон распределения:

если - дискретный случайный вектор, то

;

если - непрерывный случайный вектор, то

.

Многомерный случай.

Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектора являются:

· математическое ожидание ;

· корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат: .

Свойства корреляционной матрицы.

1. Матрица является симметрической размера : , .

2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора : , .

3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любого и для любых действительных чисел

.

▲ Обозначим - центрированную случайную величины, . Тогда и для произвольных чисел имеем:

■.

Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу , элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат: . Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1: .