 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики
|
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае 
.
Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.
Пусть 
и 
- зависимые случайные величины, 
- их совместная функция распределения. Если известно, что случайная величина уже приняла некоторое значение y, то закон распределения случайной величины при этом условии не будет совпадать с ее безусловным законом распределения. Он называется условным законом распределения случайной величины при условии, что 
, и, заданный для всех возможных значений y случайной величины , полностью определяет зависимость между случайными величинами и .
Исчерпывающей характеристикой условного закона распределения случайной величины при условии, что , является условная функция распределения 
случайной величины при условии, что , которую естественно было бы определить следующим образом:
. (3.12)
Это определение не имеет смысла, если 
, что имеет место всегда, когда является непрерывной случайной величиной.
Пусть 
- дискретный случайный вектор, 
- его возможные значения, 
- вероятности значений, 
, 
, 
. Тогда все условные законы распределения случайной величины при условии, что 
, 
, являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:
.
Дискретные условные законы распределения удобнее задавать не условной функцией распределения 
, а совокупностью условных вероятностей 
, заданных при каждом 
:
и записывать в виде таблицы:
Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки: 
.
| 
| 
| 
| 
|
| 
| 
| 
| 
|
Аналогичны выражения для условной функции распределения 
, условных вероятностей 
и дискретного условного закона распределения случайной величины 
при условии, что 
:
;
;
| 
| 
|
| 
|
| 
| 
|
| 
|
Для вероятностей в последней таблице также выполняется условие нормировки:
.
Рассмотрим теперь непрерывный случайный вектор . Так как в этом случае при любом 
, то определение (3.12) условной функции распределения случайной величины при условии, что , неприменимо. Для непрерывных случайных величин и условную функцию распределения определяют следующим образом:
.
Вероятность, стоящая под знаком предела, представляет собой
вероятность попадания непрерывного случайного вектора
в полосу.
В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной функции распределения имеем:
.
Если последний предел существует, то он равен 
.
Учитывая, что у непрерывного случайного вектора существует плотность вероятностей 
и 
, а также, что у случайной величины 
существует плотность вероятностей 
и 
, для условной функции распределения получаем выражение:
(3.13)
в точках непрерывности функций и .
Условная плотность вероятностей 
случайной величины при условии, что , по аналогии с одномерным случаем определяется как производная по х от условной функции распределения : 
в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна.
Из (3.13) следует, что 
(3.14)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Аналогичные выражения имеют место для условной функции распределения 
и условной плотности вероятностей 
случайной величины 
при условии, что 
:
; (3.15)
в точках, где условная плотность вероятностей 
непрерывна; 
(3.16)
(при этом полагается, что 
, если 
).
Как и любая плотность вероятностей, условные плотности вероятностей обладают свойствами:
при фиксированном y 
; 
(условие нормировки);
при фиксированном х 
; 
(условие нормировки).
Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.
Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величины 
при условии, что 
, называется величина
а условным математическим ожиданием случайной величины 
при условии, что 
, - величина
Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величины при условии, что 
, и случайной величины при условии, что 
, определяются формулами: 
; 
.
Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.
Если - дискретный случайный вектор, то
; 
.
Если - непрерывный случайный вектор, то
;
.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 909 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
