Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Условные законы распределения. Условная плотность вероятностей и ее свойства. Условные числовые характеристики



\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае .

Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.

Пусть и - зависимые случайные величины, - их совместная функция распределения. Если известно, что случайная величина уже приняла некоторое значение y, то закон распределения случайной величины при этом условии не будет совпадать с ее безусловным законом распределения. Он называется условным законом распределения случайной величины при условии, что , и, заданный для всех возможных значений y случайной величины , полностью определяет зависимость между случайными величинами и .

Исчерпывающей характеристикой условного закона распределения случайной величины при условии, что , является условная функция распределения случайной величины при условии, что , которую естественно было бы определить следующим образом:

. (3.12)

Это определение не имеет смысла, если , что имеет место всегда, когда является непрерывной случайной величиной.

Пусть - дискретный случайный вектор, - его возможные значения, - вероятности значений, , , . Тогда все условные законы распределения случайной величины при условии, что , , являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:

.

Дискретные условные законы распределения удобнее задавать не условной функцией распределения , а совокупностью условных вероятностей , заданных при каждом :

и записывать в виде таблицы:

Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки: .

Аналогичны выражения для условной функции распределения , условных вероятностей и дискретного условного закона распределения случайной величины при условии, что :

;

;

Для вероятностей в последней таблице также выполняется условие нормировки:

.

Рассмотрим теперь непрерывный случайный вектор . Так как в этом случае при любом , то определение (3.12) условной функции распределения случайной величины при условии, что , неприменимо. Для непрерывных случайных величин и условную функцию распределения определяют следующим образом:

.

Вероятность, стоящая под знаком предела, представляет собой

вероятность попадания непрерывного случайного вектора

в полосу.

В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной функции распределения имеем:

.

Если последний предел существует, то он равен .

Учитывая, что у непрерывного случайного вектора существует плотность вероятностей и , а также, что у случайной величины существует плотность вероятностей и , для условной функции распределения получаем выражение:

(3.13)

в точках непрерывности функций и .

Условная плотность вероятностей случайной величины при условии, что , по аналогии с одномерным случаем определяется как производная по х от условной функции распределения :

в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна.

Из (3.13) следует, что (3.14)

(при этом полагается, что , если ).

Аналогичные выражения имеют место для условной функции распределения и условной плотности вероятностей случайной величины при условии, что :

; (3.15)

в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна; (3.16)

(при этом полагается, что , если ).

Как и любая плотность вероятностей, условные плотности вероятностей обладают свойствами:

при фиксированном y ; (условие нормировки);

при фиксированном х ; (условие нормировки).

Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.

Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , называется величина

а условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что , - величина

Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величины при условии, что , и случайной величины при условии, что , определяются формулами: ; .

Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.

Если - дискретный случайный вектор, то

; .

Если - непрерывный случайный вектор, то

;

.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\





Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 909 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...