![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Известно, что, если случайные события А и В зависимы, то условная вероятность события А отличается от его безусловной вероятности. В этом случае .
Аналогичное положение имеет место и для случайных величин.
Пусть и
- зависимые случайные величины,
- их совместная функция распределения. Если известно, что случайная величина
уже приняла некоторое значение y, то закон распределения случайной величины
при этом условии не будет совпадать с ее безусловным законом распределения. Он называется условным законом распределения случайной величины
при условии, что
, и, заданный для всех возможных значений y случайной величины
, полностью определяет зависимость между случайными величинами
и
.
Исчерпывающей характеристикой условного закона распределения случайной величины при условии, что
, является условная функция распределения
случайной величины
при условии, что
, которую естественно было бы определить следующим образом:
. (3.12)
Это определение не имеет смысла, если , что имеет место всегда, когда
является непрерывной случайной величиной.
Пусть - дискретный случайный вектор,
- его возможные значения,
- вероятности значений,
,
,
. Тогда все условные законы распределения случайной величины
при условии, что
,
, являются дискретными и согласно определению условной вероятности имеем:
.
Дискретные условные законы распределения удобнее задавать не условной функцией распределения , а совокупностью условных вероятностей
, заданных при каждом
:
и записывать в виде таблицы:
Очевидно, что при этом выполняется условие нормировки: .
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Аналогичны выражения для условной функции распределения , условных вероятностей
и дискретного условного закона распределения случайной величины
при условии, что
:
;
;
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Для вероятностей в последней таблице также выполняется условие нормировки:
.
Рассмотрим теперь непрерывный случайный вектор
. Так как в этом случае
при любом
, то определение (3.12) условной функции распределения
случайной величины
при условии, что
, неприменимо. Для непрерывных случайных величин
и
условную функцию распределения
определяют следующим образом:
.
Вероятность, стоящая под знаком предела, представляет собой
вероятность попадания непрерывного случайного вектора
в полосу.
В соответствии с определением условной вероятности и свойствами двумерной функции распределения имеем:
.
Если последний предел существует, то он равен .
Учитывая, что у непрерывного случайного вектора существует плотность вероятностей
и
, а также, что у случайной величины
существует плотность вероятностей
и
, для условной функции распределения
получаем выражение:
(3.13)
в точках непрерывности функций и
.
Условная плотность вероятностей случайной величины
при условии, что
, по аналогии с одномерным случаем определяется как производная по х от условной функции распределения
:
в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна.
Из (3.13) следует, что (3.14)
(при этом полагается, что , если
).
Аналогичные выражения имеют место для условной функции распределения и условной плотности вероятностей
случайной величины
при условии, что
:
; (3.15)
в точках, где условная плотность вероятностей непрерывна;
(3.16)
(при этом полагается, что , если
).
Как и любая плотность вероятностей, условные плотности вероятностей обладают свойствами:
при фиксированном y ;
(условие нормировки);
при фиксированном х ;
(условие нормировки).
Условные числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия) определяются и находятся также, как и безусловные, только в формулах для их вычисления следует безусловные законы распределения заменить на условные.
Если - дискретный случайный вектор, то условным математическим ожиданием случайной величины
при условии, что
, называется величина
а условным математическим ожиданием случайной величины при условии, что
, - величина
Если - непрерывный случайный вектор, то условные математические ожидания случайной величины
при условии, что
, и случайной величины
при условии, что
, определяются формулами:
;
.
Аналогичные формулы имеют место и для условных дисперсий.
Если - дискретный случайный вектор, то
;
.
Если - непрерывный случайный вектор, то
;
.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 956 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!