Равномерное распределение в области на плоскости. Равномерные распределения в прямоугольнике и в круге

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

(Равномерное распределение в области ).

Говорят, что непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в области , если его плотность вероятностей постоянна внутри области :

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть , где - площадь области .

а) Равномерное распределение в прямоугольнике.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в прямоугольнике со сторонами, параллельными осям координат, если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем ():

.

Таким образом, то есть .

Аналогично, в соответствии с ()

.

Таким образом, то есть .

б) Равномерное распределение в круге.

Непрерывный случайный вектор имеет равномерное распределение в круге , если его плотность вероятностей имеет вид:

Найдем одномерные плотности вероятностей координат .

В соответствии со свойством 2f4) двумерной плотности вероятностей имеем ():

.

Таким образом,

Аналогично, в соответствии с ()

.

Таким образом,

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\