Коэффициент корреляции, его свойства и вероятностный смысл

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин и . Безразмерным аналогом является коэффициент корреляции, определяемый формулой:

,

где - средние квадратические отклонения случайных величин и .

Свойства коэффициента корреляции.

1. , если случайные величины и являются независимыми.

(Свойство очевидно, так как в этом случае ).

2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .

▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии

.

Положим . Тогда

,

откуда

.

Следовательно,

, и поэтому .■.

3. тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числа А и В такие, что .

▲ Необходимость. Предположим, что . Тогда и из доказательства свойства 2 следует, что при . В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что , откуда и значит .

Достаточность. Пусть . Тогда , а корреляционный момент случайных величин и равен

.

Поэтому ■.

Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значения для сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.

Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного вектора располагаются вдоль некоторой прямой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

28. Многомерное нормальное распределение и его свойства.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Рассмотрим с.в. , у которой .

Опр. Говорят, что случайный вектор имеет многомерное ( -мерное) нормальное или Гауссовское нормальное распределение, если его плотность вероятности имеет вид:

– формула в координатах., – корреляционная матрица, – алгебраическое дополнение , – МО вектора .

Из вида плотности вероятностей следует, что многомерное нормальное распределение полностью определяется моментами первых двух порядков: и .

В матричном виде плотность многомерного нормального распределения записывается так:

,

где – обратная матрица к . В таком виде .

Пусть и предположим, что координаты вектора являются попарно некоррелированными: , тогда матрица является диагональной: , , . Поэтому из общей формулы в данном случае имеем:

где – плотность вероятностей одномерного нормального закона распределения . Но последнее равенство означает, что с.в. являются независимыми.

Таким образом, для нормального ЗР понятие независимости и некоррелированности эквивалентны.

Другие свойства многомерного нормального закона распределения.

:

1. имеют одномерные законы нормального распределения: , (уметь доказать свойство при )

2) Все условные ЗР являются нормальными (уметь доказать свойство при )

3) Если – независимые (некоррелированные), то имеет нормальный ЗР: (уметь доказать с помощью интеграла свертки).

Рассмотрим подробно двумерный случай. Пусть дан двумерный вектор , а также следующие величины: , , , , . Тогда , .

Легко видеть, что двумерный нормальный ЗР зависит от 5 параметров: . Если , , то поверхности уровня – окружности, тогда НЗР – круговой.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\