![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость случайных величин
и
, только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.
Определение. Случайные величины и
называются независимыми, если для любых
имеет место равенство:
или, в терминах функций распределения,
. (3.9)
Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределения
и
.
Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.
Лемма 1 (Условие независимости дискретных случайных величин).
Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значения
с вероятностями
,
;
, - вероятности возможных значений случайной величины
,
- вероятности возможных значений случайной величины
.
Дискретные случайные величины и
являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех
и
, (3.10) то есть вероятность
факторизуется.
Лемма 2 (Условие независимости непрерывных случайных величин).
Пусть - непрерывный случайный вектор,
- его плотность вероятностей,
и
- одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).
Непрерывные случайные величины и
являются независимыми тогда и только тогда, когда
(3.11)
для всех , являющихся точками непрерывности функций
и
, то есть двумерная плотность вероятностей
факторизуется.
Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.
Определение. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любого
, для любого набора индексов
и для любых
,
или, в терминах функций распределения, для любой точки
,
где – функция распределения случайной величины
. Таким образом, независимость в совокупности случайных величин
означает, что их многомерная функция распределения
факторизуется.
Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей
, необходимо и достаточно, чтобы
,
во всех точках непрерывности функций и
.
Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно.
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 801 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!