Независимость случайных величин. Условия независимости. Независимость в совокупности

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Известно, что события А и В являются независимыми, если . Аналогично определяется и независимость случайных величин и , только вместо событий А и В следует использовать события, связанные с этими случайными величинами.

Определение. Случайные величины и называются независимыми, если для любых имеет место равенство:

или, в терминах функций распределения,

. (3.9)

Таким образом, независимость случайных величин означает, что их совместная функция распределения равна произведению одномерных функций распределения и .

Установим условия независимости случайных величин в дискретном и непрерывном случаях.

Лемма 1 (Условие независимости дискретных случайных величин).

Пусть - дискретный случайный вектор, принимающий значения с вероятностями , ; , - вероятности возможных значений случайной величины , - вероятности возможных значений случайной величины .

Дискретные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда при всех и

, (3.10) то есть вероятность факторизуется.

Лемма 2 (Условие независимости непрерывных случайных величин).

Пусть - непрерывный случайный вектор, - его плотность вероятностей, и - одномерные плотности вероятностей его координат, определяемые по формулам (3.8).

Непрерывные случайные величины и являются независимыми тогда и только тогда, когда

(3.11)

для всех , являющихся точками непрерывности функций и , то есть двумерная плотность вероятностей факторизуется.

Понятие независимости случайных величин обобщается на любое конечное число случайных величин следующим образом.

Определение. Случайные величины называются независимыми в совокупности, если для любого , для любого набора индексов и для любых ,

или, в терминах функций распределения, для любой точки

,

где – функция распределения случайной величины . Таким образом, независимость в совокупности случайных величин означает, что их многомерная функция распределения факторизуется.

Для независимости в совокупности непрерывных случайных величин , имеющих плотности вероятностей , необходимо и достаточно, чтобы

,

во всех точках непрерывности функций и .

Из независимости случайных величин в совокупности при следует их попарная независимость. Обратное неверно.

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\