Основные свойства определенного интеграла. 1. Линейность. Если функции y = f(x), y = g(x) интегрируемы по отрезку [a,b] , то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация Af(x)

1. Линейность. Если функции y = f (x), y = g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то по этому отрезку интегрируема их линейная комбинация Af (x) + Bg (x) (A, B = const), и

Док-во: для любого разбиения отрезка и любого выбора точек выполняется .

Перейдем в этом равенстве к пределу при . Так как существуют пределы интегральных сумм, стоящих в левой части равенства, то существует предел линейной комбинации этих сумм, следовательно, существует предел правой интегральной суммы, откуда следует истинность и утверждения, и равенства.
2. Аддитивность. Если y = f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ] и точка c принадлежит этому отрезку, то .

Док-во. Если f (x) удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезку [ a, b ], то она удовлетворяет условиям интегрируемости по отрезкам [ a, c ] и [ c, b ]. Будем брать такие разбиения отрезка [ a, b ], чтобы точка c являлась одним из узлов x_i: c = x_{i 0},. Тогда

В этом равенстве первая сумма справа - интегральная сумма для , вторая - для . Переходим к пределу при . Пределы для всех трёх сумм существуют, и Свойство аддитивности остаётся верным при любом расположении точек, если только функция интегрируема по самому широкому интервалу. Пусть, например, c < b < a, и f (x) интегрируема по [ c, a ]. Тогда, по доказанному, . Отсюда и из определения интеграла для случая, когда нижний предел больше верхнего, следует, что .

При формулировании и доказательстве следующих свойств предполагаем, что b > a.
3. Интеграл от единичной функции (f (x) = 1 ). Если f (x) = 1, то .
Док-во. Если f (x) = 1, то для любого разбиения
= x_n - x ₀ = b – a, т.е любая интегральная сумма равна длине отрезка. Предел постоянной равен этой постоянной, откуда и следует доказываемое утверждение.
4. Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .
Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.