Заметим, что

.

Поэтому

×

.

Продолжая этот процесс далее, получаем, что P – п.н.

,(20)

который является решением этого уравнения.

Легко показать, что

если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для Р - п. н.,

в) для Р - п. н.;

если выполняются условия:

а) Р - п. н. , б) для Р -п. н., в) для

Р - п. н. ;

если выполняются условия:

а) Р - п. н., б) для Р - п. н.,

в) для Р - п. н. .

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 49. Пусть выполнены условия 1), 3). Тогда уравнение (17) имеет единственное положительное решение, которое имеет вид (19), причем если выполнено условие 2), то Р - п. н. для . Кроме того, если , то для и и является равномерно интегрируемым мартингалом (относительно меры Р).

Замечание. Из теоремы 49 следует, что с помощью процесса можно определить вероятностную меру , где . Очевидно, , а - производная Радона – Никодима меры Q относительно меры P.

15.4. Теорема 50 (Гирсанов). Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности перехода . Пусть удовлетворяет условиями 1)-3) теоремы 44. Тогда относительно меры , где процесс - опциональный с конечным или счетным числом состояний и матрицей интенсивности перехода .

Доказательство. Пусть - целочисленная случайная мера, построенная по скачкам процесса . Из условий теоремы следует, что ее компенсатор относительно меры P имеет вид , т. е. является мартингалом относительно меры Р. Нам надо показать, что относительно меры Q процесс - мартингал относительно потока , т. е. Q - п. н. . Последнее равенство выполнено тогда и только тогда, когда для . Из определения меры Q следует

.