Очевидно, что

D x _t = x _t - x _t- = . Учитывая, что траектория процесса кусочно-постоянна, получаем, . Поэтому

.

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 47. Пусть опциональный процесс с кусочно-постоянными траекториями, конечным или счетным множеством состояний Е и матрицей интенсивности переходов размера - . Тогда справедливы следующие утверждения:

1) целочисленная случайная мера допускает представление ,

где - последовательность марковских моментов (опциональных), исчерпывающая скачки процесса ;

2) компенсатор целочисленной случайной меры имеет вид

;

3) процесс допускает представление

.

14.3. Замечание. В общем случае, если - опциональный скачкообразный процесс с кусочно-постоянными траекториями, со значениями в , как легко показать, допускает представление

x _t = x ₀ + ,

где .