Интегрирование случайных процессов по мартингалам, имеющим ограниченную вариацию

7.1. Пусть - мартингал, имеющий интегрируемую вариацию. Пусть - ограниченный предсказуемый случайный процесс. Тогда определен P - п. н. интеграл Римана - Стилтьеса от предсказуемой функции h по мартингалу m: , где - разбиение отрезка , такое, что при . Из этого построения следует, что - измерим.

Теорема 29. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, а - - мартингал имеющий ограниченную интегрируемую вариацию, т. е. М Var . Тогда определён интеграла Римана - Стилтьеса , являющийся: а) при каждом t - измеримой случайной величиной; б) мартингалом относительно потока и меры Р.

Доказательство. Утверждение а) теоремы очевидно. Установим б). Надо показать, что при P - п. н. Очевидно, что это равенство эквивалентно следующему . Действительно, пусть - разбиение отрезка (t, t ], тогда имеем .

По теореме Лебега о можарируемой сходимости, имеем, в силу свойств условного математического ожидания, P - п. н.

Последнее равенство следует из того факта, что P - п. н. .

Доказательство закончено.

7.3. Приведем ряд утверждений вытекающих из теоремы29.

Теорема 30 (Кэмбелл). Пусть - считывающий процесс, а его компенсатор относительно меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс. Тогда .

Доказательство. Нам надо установить равенство

(5)

Заметим, что - мартингал, имеющий интегрируемую вариацию, поэтому (5) следует из теоремы 29.

Пример. Пусть пуассоновский процесс с интенсивностью . Найдём его характеристическую функцию. Заметим, сначала, что - мартингал относительно меры P. К функции применим формулу Ито (4), имеем

(6)

Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей (6), учитывая (5), имеем . Заметим теперь, что . В силу теоремы Фубини имеем: . Отсюда следует, что .

Задача. Пусть - точечный процесс, компенсатор которого имеет вид , - интенсивность -измеримая. Такой точечный процесс называется процессом Кокса. Докажите, что P – п. н. для .