Матрица интенсивности перехода. Уравнения Колмогорова

10.1. Пусть на стохастическом базисе задан опциональный процесс со значениями в Е, где Е – конечное или счетное множество. Пусть – последовательность марковских моментов, которая исчерпывает все скачки процесса . Без ограничения общности можно считать, что . Пусть - считающий процесс, а , относительно которых мы будем предполагать, что выполняются условия (N):

i) для любого ;

ii) .

Если выполнено условие ,то у считающего процесса существует - компенсатор , относительно которого мы будем полагать, что выполняется условие (А):

P – п. н. для любых , причем

измерима, где .

10.2. Предложение 34. Пусть опциональный случайный процесс с конечным или счетным множеством состояний E, а -считающий процесс. Пусть выполняются условия (N), (А). Тогда существует измеримая функция , обозначаемая такая, что:

1) почти всюду относительно меры Лебега:

i) для любых ,

ii) для любых ;

2) компенсатор считающего процесса имеет вид ;

3) компенсатор процесса имеет вид .

Доказательство. 1) Рассмотрим считающий процесс , . В силу пункта 2) предложения 33 и теоремы Блекуэлла для любой предсказуемой ограниченной неотрицательной функции справедливо равенство:

. (7)

Из условия (А) следует, что - измерима, поэтому в силу теоремы Бореля, существует измеримая функция , обозначаемая через , такая, что почти всюду относительно меры . Очевидно, что . Поэтому (7) можно переписать в виде .

Из последнего равенства, в силу произвольности функции получаем, что:

1) для почти всех s, 2) -компенсатор считающего процесса . Таким образом, второе утверждение предложения установлено.

3) Рассмотрим процесс . Из определения процесса и условий предложения для любой - предсказуемой ограниченной неотрицательной функции определен и конечен интеграл для любого . В силу условий предположения и свойств интеграла Стилтьеса, имеем

(8)

Ранее мы выяснили, что - компенсатор считающего процесса имеет вид . Поэтому для любых t,i из (8) имеем

Следовательно, в силу произвольности функции , получаем для любых и почти всех s. Отсюда, в силу теоремы Блекуэлла и произвольности , получаем, что предсказуемый процесс является компенсатором процесса . Доказательство закончено.

Из предложения 34 следует определение.

Определение. Измеримую функцию , обозначаемую через , где , назовем матрицей интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний, если выполняются условия:

1) для почти всех s

i) для любых ,

ii) для любого ,

iii) .

2) относительно потока и меры P процессы и :

i) ,

ii)

являются мартингалами.

Теорема 35. Пусть выполнены условия (N), (А). Тогда справедливы следующие утверждения:

1) существует матрица интенсивности перехода у опционального процесса с конечным или счетным числом состояний;

2) пусть - матрица интенсивности перехода опционального процесса с конечным или счетным числом состояний. Тогда Р – п.н. справедливо представление для любых и .

. (9)

где - мартингал.

Доказательство. Первое утверждение следует из предложения 34. Второе утверждение теоремы следует из предложений 33 и 34.

Действительно, из пункта 1) предложения 33 и пункта 3 предложения 34, имеем P – п.н.

Здесь мы учли, что . Для завершения доказательства осталось лишь заметить, что в силу пунктов 2) и 3) предложения 34 и являются мартингалами относительно меры P. Доказательство закончено.

Замечание. Предположим, что - матрица интенсивности перехода удовлетворяет условиям:

1) для и ,

2) ,

3) .

Тогда . Действительно, из условий 1) – 3) следует, что для .

10.3. Представление (9) позволяет вывести уравнение для распределения вероятностей . Обозначим .

Теорема 36. Пусть - матрица интенсивностей перехода процесса . Тогда удовлетворяет системе уравнений для

. (10)

Доказательство. Возьмем математическое ожидание относительно левой и правой частей (9), учитывая, что для , имеем

.

Так как для , то в силу теоремы Фубини из последнего равенства имеем

.

Отсюда, в силу того, что детерминированная функция, получаем (10). Доказательство закончено.

Замечание. Процесс , распределение вероятностей которого удовлетворяет (10) называют скачкообразным марковским процессом с конечным или счетным числом состояний. Система уравнений (10) называется прямым уравнением Колмогорова для марковских процессов с конечным или счетным числом состояний.