Разрешимость системы уравнений Колмогорова для процессов с конечным или счетным числом состояний

11.1. Теорема 37. Пусть - размера матрица интенсивности перехода такая, что: 1) для и ,

2) для , 3) . Тогда в классе решение уравнения (10) существует и единственно.

Доказательство теоремы 37 опирается на лемму.

Лемма 38 (Гронуолла - Беллмана). Пусть , - измеримая функция, обозначаемые через u (t) и c (s), соответственно, такие, что: а) ; б) . Тогда для справедливо неравенство .

Доказательство. Очевидно неравенство для .

Последнее можно переписать в виде . Отсюда следует, что . Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 37. Сначала заметим, что (10) можно переписать в виде

.

Отсюда, в силу формулы Коши (для обыкновенного линейного неоднородного уравнения первого порядка), имеем

. (11)

Заметим, что , поэтому имеем неравенства:

.

Отсюда в силу теоремы Фубини следует, что

.

(Здесь мы учли, что для ).

Таким образом, мы пришли к неравенству

.

В силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем .

Отсюда следует существование решения системы уравнений (10).

Установим теперь единственность решения системы (10). Пусть , l = 1,2, - два решения системы (10). Поэтому в силу (11) для справедливо представление

. (12)

Обозначим . Из (12) следуют неравенства

.

Отсюда, в силу теоремы Фубини, имеем для любого t

.

Поэтому, в силу леммы Гронуолла - Беллмана, имеем . Отсюда следует утверждение теоремы.

11.2. Приведем теперь условия, при выполнении которых решение системы (10) имеет вероятностный смысл.

Теорема 39. Пусть выполняются условия:

а) для и и ;

б) - матрица интенсивности перехода.

Тогда для решение уравнения (10) обладает свойствами:

1) для любых и и ;

2) если для любых и , то для .

Доказательство. 1) Из доказательства теоремы 37 следует, что допускает представление (11). Обозначим

.

Тогда из (11) имеем .

Итерируя это равенство, имеем

.

Отсюда следует, что представляет собой ряд, слагаемые которого неотрицательны (в силу условий теоремы). Поэтому для и . Так как , то и для и .

Покажем теперь, что для . Из уравнения (10) следует, что, в силу теоремы Фубини,

. (13)

Поэтому, в силу того что для и , получаем для . Второе утверждение теоремы следует из (13), так как для . Доказательство закончено.

Замечание. Процесс , матрица интенсивности которого удовлетворяет условию для , , называется консервативным.

11.3. Докажем теперь утверждение обратное к теореме 35.

Теорема 40. Пусть - опциональный процесс с конечным или счетным числом состояний и семейство удовлетворяет системе уравнений (10). Пусть выполнены условия теоремы 37. Тогда для P - п. н. справедливо представление

, (9')

где - ограниченный мартингал.

Доказательство. Покажем сначала, что процесс - ограничен. Действительно,

.

Так как для любых и , то . Докажем теперь, что является мартингалом, т. е.

. Из (9') следует, что P – п. н.

. (9а)

Возьмем условное математическое ожидание относительно левой и правой частей (9а), имеем в силу теоремы Фубини:

.

В силу условий теоремы допускает представление

.

Отсюда следует утверждение теоремы. Доказательство закончено.