Свойства компенсаторов точечных процессов. Случайная замена времени

8.1. Теорема 31. Справедливы утверждения.

1) Компенсатор точечного процесса допускает един­ственное разложение , где - непрерывная составляющая, - разрывная составляющая.

2) Р - п. н.

3) P – п. н. для любого t.

Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы следует из теоремы 24.

2) Так как , то . Заметим, что - измерим, поэтому . Так как , то Р - п. н.

3) Сначала заметим, что Р – п. н.

.

Так как является мартингалом, a - предсказуемый возрастающий процесс. Поэтому из теоремы Дуба - Мейера следует третье утверждение. Теорема доказана.

8.2. Пусть - точечный процесс, а - его компенсатор, где - измеримая функция.

Теорема 32. Пусть Р - п. н. . Пусть существует функция

, обозначаемая через , такая, что . Тогда - стандартный пуассоновский процесс (т. е. интенсивность его равна единице).

Доказательство. Сначала покажем, что процесс имеет компенсатор t, т. е. - мартингал относительно потока и меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, тогда имеем, в силу теоремы 30, .

Покажем теперь, что . Очевидно, что - точечный процесс, поэтому . Отсюда следует, что . Значит . Доказательство закончено.

§9 Мультивариантные точечные процессы.

9.1. Определение. Мультивариантным точечным процессом на называется последовательность , где - марковские моменты такие, что: а) ; б) на множестве ; в) на множестве ; а на множестве и на множестве где - некоторая "фиктивная" точка, причём для .

По мультивариантному точечному процессу легко построить опциональный случайный процесс с кусочно-постоянными траекториями. Действительно, для любого n положим

Очевидно, что таким образом построенный случайный процесс является согласованным и его траектории непрерывны справа и имеют конечный левый предел, т. е. принадлежат пространству Скорохода.

Обозначим - число попаданий мультивариантного точечного процесса в множество за время t. Очевидно, что считающий процесс, поэтому - субмартингал (относительно меры Р). Стало быть, по теореме Дуба-Мейера существует единственный предсказуемый возрастающий процесс такой, что мартингал, т. е. - компенсатор.

Определение. Пусть Е - конечное или счётное множество, причем , в этом случае мультивариантный точечный процесс будем называть k-вариантным.

9.3. Пусть , где опциональный процесс построенный по мультивариантному точечному процессу с кусочно-постоянными со значениями в Е, где Е - конечное или счетное множество. Через обозначим элементы множества Е и назовем их состояниями. Пусть - одноточечное множество, т.е. . Через обозначим число попаданий процесса за время t в состояние i. Очевидно, что: 1) , 2) , где марковские моменты такие, что . Справедливо утверждение.

Предложение 33. Пусть - считающий процесс. Тогда для любых и Р - п. н. справедливы представления:

1)если , то

,

где ,

2)

Доказательство. 1) Так как , то, очевидно, что P – п. н. для любых ,

.

Получившееся равенство перепишем в виде интеграла Римана-Стилтьеса, имеем P – п. н. .

Отсюда следует первое утверждение предложения.

2) Так как марковские моменты нагружают процесс , то P – п. н. для любого . Поэтому P – п. н. для любого . Следовательно, P – п. н. для любых , , имеем

Последнее равенство перепишем в виде интеграла Римана – Стилтьеса, имеем P – п. н. . Доказательство закончено.