Вывод уравнения теплопроводности

При построении математической модели распространения тепла в стержне сделаем следующие предположения:
1) стержень сделан из однородного проводящего материала с плотностью ρ;
2) боковая поверхность стержня теплоизолирована, то есть тепло может распространяться только вдоль оси ОХ;
3) стержень тонкий - это значит, что температура во всех точках любого поперечного сечения стержня одна и та же.

Рассмотрим часть стержня на отрезке [х, х + ∆х] (см. рис. 6) и воспользуемся законом сохранения количества тепла:

Общее количество тепла на отрезке [х, х + ∆х] = полному количеству тепла, прошедшему через границы + полное количество тепла, образованного внутренними источниками.

Общее количество тепла, которое необходимо сообщить участку стержня, чтобы повысить его температуру на∆U, вычисляется по формуле: ∆Q= CρS∆x∆U, где С - удельная теплоемкость материала (= количеству тепла, которое нужно сообщить 1 кг вещества, чтобы поднять его температуру на 1°), S - площадь поперечного сечения.

Количество тепла, прошедшее через левый конец участка стержня за время ∆t (тепловой поток) вычисляется по формуле: Q1 = -kSUx(x, t)∆t, где k - коэффициент теплопроводности материала (= количеству тепла, протекающего в секунду через стержень единичной длины и единичной площади поперечного сечения при разности температур на противоположных концах, равной 1°). В этой формуле особого пояснения требует знак минус. Дело в том, что поток считается положительным, если он направлен в сторону увеличения х, а это, в свою очередь, означает, что слева от точки х температура больше, чем справа, то есть Ux < 0. Следовательно, чтобы Q1 был положительным, в формуле стоит знак минус.

Аналогично, тепловой поток через правый конец участка стержня вычисляется по формуле: Q2 = -kSUx(x +∆x,t)∆t.
Если предположить, что внутренних источников тепла в стержне нет, и воспользоваться законом сохранения тепла, то получим:

∆Q = Q1 - Q2 => CpS∆x∆U = kSUx(x + ∆х, t) ∆t - kSUx(x, t)∆t.

Если это равенство поделить на S∆x∆t и устремить ∆х и ∆t к нулю, то будем иметь:

так как

Отсюда уравнение теплопроводности имеет вид

Ut = a2Uxx,
где - коэффициент температуропроводности.

В случае, когда внутри стержня имеются источники тепла, непрерывно распределенные с плотностью q(x,t), получится неоднородное уравнение теплопроводности

Ut = a2Uxx + f(x,t),
где .

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Смешанная задача для уравнения теплопроводности.

Пусть u(x,t)– функция распределения температуры вдоль стержня длины l в момент времени t. Процесс передачи тепла вдоль стержня описывает уравнение = a² ,

где а - const, 0 , t > 0. На концах стержня температура всегда 0: u(0,t) = 0, u(l,t) = 0,

а в начальный момент распределение температуры: u(x,0) = f(x), f(0) = f(l) = 0

Задача также решается методом Фурье u(x,t) = X(x) T(t) и общее решение имеет вид ряда Фурье u(x,0) = B_n sin (p n / l) x = f(x), (6)

где коэффициенты определяются начальными условиями B_n = (7)