Решение задачи Коши волнового уравнения в свободном пространстве

Задача Коши для волнового уравнения в свободном пространстве.

= a² , t > 0, x R, u(x,t)|_t=+0 = (x), |_t=+0 = (x)

Характеристическое уравнение ² = a² приводит к новым переменным p = x –at, q = x +at,

уравнению и общему решению u(p,q) = F₁(p) + F₂(q) = F₁(x – at) + F₂(x + at),

где F₁(p) и F₂(q) - произвольные функции. С учетом начальных условий имеем решение задачи Коши в общем случае (метод Даламбера):

u(x,t) = ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a [ + ] =

= ½ [j(x - at) + j(x + at)] + 1/2a (3)