Опр. векторного поля, векторных линий

Опр. Векторным полем (в.п.) наз. совокупность двух множеств: множество точек пространства М и множество векторов, каждый из которых соотнесен к определенной точке. Вектора определяются векторной функцией = (M) = (x,y,z) = (), которая наз. функцией векторного поля.

В координатной форме (M) = P(x,y,z) i +Q(x,y,z) j + R(x,y,z) k. Компоненты P, Q, R образуют три скалярных поля и однозначно определяют () - векторную функцию от векторного аргумента. Опр. Векторными линиями поля наз. кривые, касательные к которым в каждой точке М совпадают с (M).

В сферическом поле векторными линиями являются все прямые проходящие через центр, в цилиндрическом поле все прямые к оси цилиндра.

При перемещении из точки М вдоль векторной линии дифференциал радиус-вектора точки т.е. , будет определять направление касательной и, следовательно, будет коллинеарен вектору (M). Условие коллинеарности двух векторов = (M) приводит к трем равенствам для координат и после исключения к системе двух дифференциальных уравнений

(24)

решения которых и определят уравнение векторной линии.

Задача о потоке жидкости через поверхность. Опр. Потока векторного поля через поверхность.

Опр. Выберем на G бесконечно малую площадку S. Считаем, что во всех ее точках векторы , имеют постоянное значение. Тогда скалярное произведение этих векторов и площади S наз. потоком вектора через бесконечно малую площадку.

П = ( ) S = | | cos( ^ ) S = | |_n S (25)

Пусть - векторное поле скоростей потока жидкости. Тогда П это объем жидкости, протекающей через S за единицу времени в направлении внешней нормали к S, т.к. | |_n -высотабруса жидкости, S - его основание. Если угол между векторами тупой и cos( ^ ) < 0, то направления нормали и потока жидкости противоположны.

Запишем поток в координатной форме П = () S, тогда S, S, S - проекции площадки на координатные плоскости yOz, xOz, xOy, а сам поток распадается на три составляющих потока направленных вдоль координатных осей со скоростью P,Q,R. Пусть проекции имеют форму прямоугольников, тогда

П = Pdydz + Qdxdz + Rdxdy (26)

Множитель означает, что вклады потоков берутся с учетом ориентации площадки.

Сумма по всем малым площадкам поверхности G приводит к интегральной сумме П(m)= П_i, пределкоторой при m совпадает с поверхностным интегралом

2 рода (27)

П_G = = =

Опр. Потоком векторного поля (M) через произвольную поверхность G наз. поверхностный интеграл 1 рода от скалярного произведения вектора поля и нормального вектора поверхности или поверхностный интеграл 2-ого рода.

Если поток жидкости проходит череззамкнутую поверхность, то входящие и выходящие части потока в интеграле учитываются с противоположными знаками, т.к. они по разному ориентированы относительно внешней стороны поверхности

Задача о потоке жидкости через нагретое тело

Рассмотрим некоторое неравномерно нагретое тело. Распределение температуры задает скалярное поле U(M). Это последовательность поверхностей с постоянной температурой U(x,y,z) = C. Передача тепла идет от слоя к слою в направлении нормали к этим поверхностям, т.е. в направлении grad U в каждой точке тела.Количество передаваемого тепла пропорционально скорости изменения температуры при переходе от слоя к слою, т.е. |grad U|.. Поэтому процесс теплопередачи описывает векторное поле (M) = - k gradU(M) и общее количество тепла прошедшего через некоторую

поверхность G равно .

40. Поток векторного поля через замкнутую поверхность.Понятие «источников» и «стоков». поверхность G равно .

Если G замкнутаяповерхность, то поток дает разность между пришедшим и ушедшим теплом из этого объема V. Однако, в V могут быть свои «источники» или «стоки» тепла (перегретые или переохлажденные участки). Если внешний приток тепла равен оттоку и поток > 0, то мощность «источников» тепла внутри объема больше мощности «стоков» и определит разность этих мощностей. Т.о. поток любого стационарного векторного поля устанавливает баланс между «источниками» и «стоками» этого поля в замкнутом объеме