Классификация линейных УМФ

Классификация УМФ.

Путем перехода к новым переменным в уравнении (1) можно исключить некоторые производные 2 порядка. Возникают три варианта упрощенных (канонических) уравнений в зависимости от знака дискриминанта характеристического уравнения

a₁₁ ² + 2a₁₂ + a₂₂ = 0 (2)

1) D = a₁₂²- a₁₁ a₂₂ > 0 Гиперболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b₁^* + b₂^* + c*u = F(p,q) или - + b₁^* + b₂^* + c*u = F(p,q)

2) D = 0 Параболический тип уравнения. Приводится к виду

+ b₁^* + b₂^* = F(p,q)

3) D < 0 Эллиптический тип уравнения. Приводится к виду

+ + b₁^* + b₂^* + c*u = F(p,q)

Начальные и граничные условия обеспечивают единственность решения и они имеют разную структуру для уравнений разных типов. Различают три вида задач для этих уравнений:

1. задача Коши, для уравнений гиперболического и параболического типов – задаются начальные условия, граничные отсутствуют, область определения уравнения и его решения – вся плоскость;

2. краевая граничная задача, для уравнений эллиптического типа - задаются граничные условия на границе L = , области определения неизвестной функции, начальные условия отсутствуют;

3. смешанная задача, для уравнений гиперболического и параболического типов -задаются начальные и граничные условия.