Дивергенция векторного поля. Опр. И вывод формулы

Опр. Д ивергенцией (расходимостью) векторного поля (M) в точке М наз.предел отношения потока по замкнутой поверхности G к объему ограниченному этой поверхностью при стягивании замкнутой поверхности G в точку М

= div F(M) (28)

Опр. Дивергенция векторного поля это поток поля через поверхность, охватывающую отдельную точку. Если знак div положителен, то в точке М имеем источник поля, если отрицателен, то сток, а численное значение дивергенция дает их «мощность». Дивергенция вычисляется для всех точек векторного поля и образуют скалярное поле.

Теорема. Дивергенция векторного поля (M)= {P, Q, R} существует в каждой точке поля, если компоненты вектора и их частные производные непрерывны, и определяется по формуле div (M) = P’_x(M) + Q’_y(M) + R’_z(M) (29)

т.е. дивергенция равна сумме частных производных от компонент векторного поля по соответствующим координатам.

Док – во. В выражении для потока (27) используем формулу Остроградского-Гаусса и теорему о среднем для тройного интеграла

П_G = = = V [P’_x + Q’_y + R’_z ]_M^* (30)

При переходе к пределу lim П_G / V при V 0 точка M* M и получаем (29).

Дивергенция есть сумма скоростей изменения компонент поля в окрестности выбранной точки вдоль координатных осей. Если около выбранной точки в направлении координатных осей среднеарифметическая скорость изменения поля положительна, то данная точка является «источником» поля, если отрицательна, то «стоком».

Теперь формулу Остроградского – Гаусса можно переписать в векторной форме