Циркуляцией векторного поля. Формула Стокса. Ротором векторного поля

Опр. Циркуляцией векторного поля. (M) = {P, Q, R} вдоль замкнутой кривой L наз. криволинейный интеграл от скалярного произведения вектора поля и дифференциала радиус-вектора перемещающегося вдоль кривой

Ц _L = =

Циркуляцию векторного поля (M) по контуру L по формуле Стокса можно представить как интеграл по поверхности G, натянутый на этот контур

Ц _L = = =

= (33)

Выражение в квадратных скобках можно представить как скалярное произведение двух векторов: вектора = { } и вектора

(R’_y – Q’_z) i + (P’_z – R’_x) j + (Q’_x - P’_y) k rot F (34)

который наз. ротором (вихрем) векторного поля (M) = {P, Q, R}. В результате формула Стокса принимает следующую векторную форму

= (35)

т.е. циркуляция векторного поля вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря поля через эту поверхность.

Если в (35) размер G достаточно мал и вектора rot и почти не меняются в пределах G, то можно применить теорему о среднем и заменить (rot ) ее значением в отдельной точке M*. Тогда интеграл по G даст площадь поверхности S и

(rot )|_M* = 1/S или | rot |cos = 1/S

Опр. Ротором векторного поля (M) наз. вспомогательное векторное поле rot (M), вектора которого в каждой точке пространства определяют ориентацию плоскости, в которой циркуляция вокруг точки максимальна, а модуль ротора |rot (M)| дает значение этой циркуляции.

Ротор векторного поля (M) = {P, Q, R} удобно записывать в виде оператора

rot (M) = x (M) =