Рассмотрите динамическую систему Ресслера

Система Ресслера имеет вид:

Где x,y,z – динамические переменные, ­ a, b, r – параметры.

27. Опишите отображение "пекаря". Покажите процесс возникновения хаотических режимов.

Отображение пекаря. Давайте попытаемся построить отображе­ние, отправляясь от рассмотрения динамики типа сдвига Бернулли на множестве последовательностей бесконечных в обе стороны. Запишем такую последовательность в виде

где каждое Sj есть либо 0, либо 1. Обратите внимание на особый разделительный символ — точку с запятой, который встречается в одном-единственном месте; его присутствие позволяет соотносить положение символов с некоторым «началом отсчета». Введем две

динамические переменные — действительные числа х я у, при­надлежащие единичному интервалу, определив их через символы Si следующим образом:

Пусть трансформация последовательности за один времен­ной шаг состоит в том, что все символы сдвигаются на одну по­зицию вправо, так что результатом окажется

Тогда новые значения x и у будут

Их можно выразить через старые значения х и у следующим обра­зом:

По самому своему построению наша система может демонстри­ровать хаотическую динамику: чтобы получить хаос нужно взять в качестве последовательности случайный набор символов. Система имеет также бесконечное множество периодических орбит (циклов) — им отвечают периодические последовательности.

В отличие от примеров, приведенных в предыдущем разделе, мы пришли к двумерному отображению, описывающему дина­мику в терминах переменных х я у. Мгновенное состояние на­шей системы определяется заданием этих двух величин, причем обе они необходимы для того, чтобы иметь возможность находить последующие состояния по известному начальному.

Рассмотрим единичный квадрат на плоскости (х, у). Разре­заем его пополам, как кусок теста, накладываем одну половинку на другую и раскатываем так, чтобы восстановить исходную форму (рис. 2.6). Для наглядности «тесто», оказавшееся слева при пер­вом разрезе, изображено темным, а справа — светлым. На ри­сунке показано, как выглядит распределение темного и светлого теста на нескольких последовательных шагах. При большом чи­сле итераций это распределение принимает вид набора тонких и длинных чередующихся темных и светлых полосок. При много­кратном повторении процедуры в конце концов получаем кусок те­ста, который выглядит однородным. Взяв для пробы небольшой кусочек, мы обнаружим в нем присутствующие в равных долях темную и светлую составляющие. Описанное свойство отображе­ния пекаря называется именно так, как мы его и назвали бы на «бытовом» языке, — перемешивание.

Отображение пекаря является консервативной системой или, используя терминологию, специфическую для двумерных отобра­жений, это отображение, сохраняющее площадь. Если взять некоторую область на плоскости (х, у) и подвергнуть каждую ее точку действию отображения пекаря, то она перейдет в некото­рую другую по форме область, но площадь новой области останется той же самой. Формальное правило для проверки этого свойства состоит в том, что должен равняться единице определитель, по­строенный из производных, — якобиан. Для отображения пекаря имеем: