Проанализируйте двумерные отображения, сохраняющие площадь. Приведите примеры

Двумерное отображение, описывает дина­мику в терминах переменных х и у. Мгновенное состояние на­шей системы определяется заданием этих двух величин, причем обе они необходимы для того, чтобы иметь возможность находить последующие состояния по известному начальному. Двумерное отображение рассматривается на плоскости, то есть в двумерном пространстве. Примерами двумерного отображения являются: «Отображение Пекаря», «Кот Арнольда».

Отображение пекаря является консервативной системой или, используя терминологию, специфическую для двумерных отобра­жений, это отображение, сохраняющее площадь. Если взять некоторую область на плоскости (х, у) и подвергнуть каждую ее точку действию отображения пекаря, то она перейдет в некото­рую другую по форме область, но площадь новой области останется той же самой. Формальное правило для проверки этого свойства состоит в том, что должен равняться единице определитель, по­строенный из производных, — якобиан. Для отображения пекаря имеем:

Возьмем тесто, размером 1х1, и разрежем его пополам. Каждый раз проделывая эту операцию, мы придем к тому, что наше тесто станет сплошным, но если увеличить некоторый участок, то можно увидеть, что тесто состоит из равных чередующихся полос темного и светлого оттенка. Система консервативна, поэтому площадь остается неизменной. Изначально, S_нач=1*1=1. J = 1 1=1.

Другим примером двумерного отображения является Кот Арнольда.

Рассмотрим двумерное отображение:

которое называют отображение кота Арнольда.Название объясняется тем, что предложивший это отображение В.И.Арнольд для иллюстрации его действия использовал картинку в виде кота (см. рис.). Геометрически, первый шаг процедуры состоит в линейном преобразовании координат а второй - в переносе элементов картинки, удалившихся за рамки единичного квадрата, обратно в него (операция взятия модуля). Благодаря периодичности по x и p, фазовое пространство отображения можно мыслить как поверхность тора. Движение частицы консервативно, т.е. мы имеем дело с консервативной системой. Математически это выражается в том, что детерминант (якобиан) матрицы М, задающей отображение кота Арнольда, равен 1, и оно сохраняет меру (площадь) любой области, например, изображения кота:

Якобиан матрицы М= равен: 2-1=1.