![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной. Сравнивая формулы площади криволинейной трапеции
и
делаем вывод: если F — первообразная для f на [а; b] то
(1)
Если ![]() ![]() ![]() ![]() |
т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной функции (или неопределенного интеграла) при верхнем и нижнем пределах. Она справедлива для любой функции f (x), непрерывной на отрезке [ a, b ].
Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела:
. Легко доказать, что если f (t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f (t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и
.
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение
. Тогда
, где c - точка, лежащая между x и
(существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла).
. Устремим
. При этом
(c - точка, расположенная между x и
). Так как f (t) непрерывна в точке t = x, то
. Следовательно, существует
, и
. Теорема доказана.
Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f (x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой
. Другим важным следствием этой теоремы является сама формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!