Понятие степенного ряда, сходимость, признаки сходимости

Степенным рядом называется ряд вида

,

где числа называются коэффициентами ряда, а член - общим членом ряда.

Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.

Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при ряд сходится и притом абсолютно, а при ряд расходится. Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке x ₀. Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге | x | < | x ₀ | и равномерно по x на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x ₀, он расходится при всех x, таких что | x | > | x ₀ |. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда может быть вычислено по формуле:

Пусть F (x) и G (x) — два степенных ряда с радиусами сходимости R_F и R_G. Тогда

Если у ряда G (x) свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы | x | = R круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при n > N и α > 1 выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность a_n монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности | x | = 1, кроме, быть может, точки x = 1.
• Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке x = x ₀. Тогда он сходится равномерно по x на отрезке, соединяющем точки 0 и x ₀.