![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Степенным рядом называется ряд вида
,
где числа называются коэффициентами ряда, а член
- общим членом ряда.
Областью сходимости степенного ряда называется множество всех значений , при которых данный ряд сходится.
Число называется радиусом сходимости степенного ряда, если при
ряд сходится и притом абсолютно, а при
ряд расходится. Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.
Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при x = x 0, он расходится при всех x, таких что | x | > | x 0 |. Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга R (возможно, нулевой или бесконечный), что при | x | < R ряд сходится абсолютно (и равномерно по x на компактных подмножествах круга | x | < R), а при | x | > R — расходится. Это значение R называется радиусом сходимости ряда, а круг | x | < R — кругом сходимости.
Пусть F (x) и G (x) — два степенных ряда с радиусами сходимости RF и RG. Тогда
Если у ряда G (x) свободный член нулевой, тогда
Вопрос о сходимости ряда в точках границы | x | = R круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:
тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности | x | = R абсолютно и равномерно по x.
Дата публикования: 2015-02-03; Прочитано: 438 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!