Метод интегрирования. Замена переменных, интегрирование по частям

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием. вычислeниe интегралов иногда требует некоторой изобретательности, так сказать, «индивидуального подхода к каждой подынтегральной функции».

Cоотвeтcтвyющиe навыки приобретаются в результате значительного числa упражнений.

Подведение под знак дифференциала: данный метод эквивалентен методу замены переменной (см. далее):

Интегрирование по частям. Если функции u (x) и v (x) имеют непрерывные первые производные и существует интеграл v (x) du (x), то существует и интеграл u (x) dv (x) и имеет место равенство:

u (x) dv (x) = u (x) • v (x) – v (x) du (x)

или в более короткой форме:

u dv = u v – v du.

Обратите внимание, что интегрирование по частям и дифференциал произведения являются взаимно обратными операциями (проверьте!).

П р и м е р.	Найти интеграл: ln x dx.
Р е ш е н и е.	Предположим u = ln x и dv = dx, тогда du = dx / x и v = x. Используя формулу интегрирования по частям, получим: ln x dx = x ln x – x dx / x = x ln x – x + C.

Интегрирование подстановкой (замена переменной). Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой. Если функция f (z) определена и имеет первообразную при z Z, а функция z = g (x) имеет непрерывную производную при x X и её область значений g (X) Z, то функция F (x) = f [ g (x)] × g' (x) имеет первообразную на Х и

F (x) dx = f [ g (x)] • g' (x) dx = f (z) dz.

П р и м е р.	Найти интеграл: .
Р е ш е н и е.	Чтобы избавиться от квадратного корня, положим , тогда x = u 2 + 3 и, следовательно, dx = 2 u du. Делая подстановку, имеем:

40 Приложение определенных интегралов. Понятие площади объёма, длины кривой. Геометрические приложения

Определённый интеграл имеет многочисленные приложения в математике, механике, физике, астрономии, технике и других областях человеческой деятельности. Мы рассмотрим здесь примеры, иллюстрирующие возможности этого аппарата. 3.2 Интегральное исчисление в геометрии. 13
3.2.1 Вычисление длины дуги плоской кривой.. 13
3.2.2 Вычисление объема тела. 16
3.2.3 Вычисление площади поверхности вращения. 18
3.2.4. Вычисление площадей плоских фигур……

площадь криволинейной трапеции, расположенной «выше» оси абсцисс (ƒ(х) ≥ 0), равна соответствующему определенному интегралу. Отметим,что если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (ƒ(х) < 0), то ее площадь может быть найдена по формуле

Площадь фигуры, ограниченной кривыми у = = fι(x) и у = ƒг(х), прямыми х = а и х = b (при условии ƒ₂(х) ≥ ƒ₁(х)) (см. рис. 175), можно найти по формуле

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 176), то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у=d, осью Оу и непрерывной кривой х = φ(у) ≥ 0 (см. рис. 177), то ее площадь находится по формуле

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

прямыми х = аих = bи осью Ох, то площадь ее находится по формуле

где а и β определяютсяиз равенств х(а) = а и х(β) =b.

. Вычисление длин кривых.

13.3.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой. Пусть на плоскости задана кривая AB. Разобьём эту кривую точками A = M ₀, M ₁, M ₂, …, M_{i -1}, M_i, …, M_n = B на n частей и впишем в кривую ломаную M ₀ M ₁ M ₂ … M_{i -1} M_i … M_n, соединяющую эти точки. Длина L _лом этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения: . Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L _лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB.

13.3.2. Длина кривой в декартовых координатах. Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f (x), имеющей непрерывную производную , . Тогда точка M _i имеет координаты (x_i, f (x_i)), звено M_{i -1} M _i имеет длину . Функция y = f (x) на отрезке [ x_{i -1} x_i ] удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка такая, что . С учётом этого длина звена M_{i -1} M_i равна , длина всей ломаной - . Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением y = f (x), , определяется формулой .

3.3.3. Кривая задана параметрически . Заменим в переменную x на переменную t. Так как , то . Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой .

13.3.4. Кривая задана в полярных координатах. Случай, когда кривая задаётся уравнением , , легко сводится к предыдущему. Так как , то, рассматривая полярный угол как параметр, получим , поэтому

.