Метод интегрирования. Метод разложения. Замена переменных. Интегрирование по частям

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — дело значительно более сложное, чем дифференцирование, то есть нахождение производной. Зачастую выразить интеграл в элементарных функциях невозможно. Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

28 Интегралы, содержащие квадратный трёхчлен ах^2 +bx+c

. Интегралы вида приводятся к табличным с помощью выделения полного квадрата.

Пример. Найти

Решение. Выделим в трехчлене полный квадрат:

Интегралы вида приводятся к интегралам
вида выделением в числителе производной трехчлена из знаменателя.

29 Интегралы вида *******

. сводится к одному из двух интегралов

Интеграл вида Интегралы вида приводятся к интегралам
вида выделением в числителе производной трехчлена из знаменателя.