Условия монотонности функции

· Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a, b), и имеет в каждой точке производную f '(x). Тогда

f возрастает на (a, b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a, b) тогда и только тогда, когда

· (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на (a, b), и имеет в каждой точке производную f '(x). Тогда

если то f строго возрастает на (a, b);

если то f строго убывает на (a, b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a, b). Точнее имеет место

• (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная f '(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1.

2.

Аналогично, f строго убывает на интервале (a, b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

1.

2.