Дифференциал. Определение. Геометрический смысл. Свойство

Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)D x. Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде: dy = f'(x)dx.

Возьмем на графике функции y = f(x) произвольную точку M(x,y) (рис21.). Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке M, которая образует угол f с положительным направлением оси OX, то есть f'(x) = tg f. Из прямоугольного треугольника MKN KN = MNtgf = D xtg f = f'(x)D x, то есть dy = KN. Таким образом, дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение D x.

Отметим основные свойства дифференциала, которые аналогичны свойствам производной.

1 d c = 0; 2 d(c u(x)) = c d u(x); 3 d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x); 4 d(u(x) v(x)) = v(x) d u(x) + u(x)d v(x); 5 d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v^2(x).

Рассмотрим функцию y = f(u), где u = f (x), то есть рассмотрим сложную функцию y = f(f(x)). Если каждая из функций f и f являются дифференцируемыми, то производная сложной функции равна y' = f'(u)· u'. Тогда дифференциал функции dy = f'(x)dx = f'(u)u'dx = f'(u)du, так как u'dx = du. То есть dy = f'(u)du.

7 Теоремы о функциях, дифференцируемых на отрезках (Лагранжа, Коши, ферма, Роля).

Теорема Ферма Пусть функция y = f(x) определена в интервале (а, в) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (а, в) значение. Если существует f'(с), то f'(с) = 0.

Доказательство. Пусть, например, f(с) = М – наибольшее значение функции в интервале (а, в) и существует f'(с). По определению производной f'(с)= . При любом знаке Dх f(c+Dx)-f(c)≤0, так как f(с) – наибольшее значение функции в (а, в). Если Dх>0, то и, следовательно, f'(с)≤0. Если же Dх<0, то и f'(с) ≥0. Следовательно, f'(с)=0.

Геометрически теорема означает, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f(с)), параллельна оси Ох.

Теорема Ролля. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b) = 0. Тогда ее производная f'(х) обращается в нуль хотя бы в одной точке сÎ(a, b). Доказательство. По условию функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], поэтому она достигает на [a, b] своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если М = m, то функция постоянна на [a, b] и ее производная f'(х) = 0 во всех точках (a, b). Пусть теперь М ¹ m, тогда хотя бы одно из этих чисел, например, m ¹ 0. Поэтому существует точка сÎ(a, b) такая, что f(с) = m. Следовательно, по теореме Ферма f'(с) = 0. Геометрически теорема означает, что если функция y = f(x) удовлетворяет теореме Ролля, то найдется хотя бы одна точка (с; f(с)), где сÎ(a;b), такая, что касательная к графику функции, проведенная в этой точке, параллельна оси Ох.

Теорема Лагранжа Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует хотя бы одна точка сÎ(a, b), для которой выполняется условие: . Доказательство. Составим уравнение хорды АВ, соединяющей точки графика функции A(a; f(a)) и B(b; f(b)): Отсюда ордината хорды у= . Рассмотрим функцию . Функция F(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), так как функция f(x) непрерывна на [a, b] и дифференцируема на интервале (a,b). . Таким образом, функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка сÎ(a, b), что , откуда получаем утверждение теоремы. Геометрически теорема Лагранжа означает, что существует хотя бы одна точка сÎ (а, b) такая, что касательная, проведенная к графику функции в точке (с; f (с)), параллельна хорде АВ.