Правило Лопиталя. Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя)

Теорема Лопиталя (Правило Лопиталя)

Пусть - функции, непрерывные на [а, b], дифференцируемые в(а, b) ; при всех хÎ (а, b) и f (а) = (а) = 0. Тогда, если существует , то существует причем =. Доказательство. Возьмем на [а, b] какую-нибудь точку х а. Применяя формулу Коши, получим , где сÎ (а; х). По условию f (а) = (а) = 0, значит . Если х а, то и с а, так как сÎ (а, х). При этом, если существует =А, то существует и = А.

Поэтому = = = = А. Теорема доказана. Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции f(х) и (х)не определены при х = а, но f(х) = 0,

(х) = 0. Замечание 2. Если и производные удовлетворяют всем тем условиям, которые наложены на функции в теореме Лопиталя, то применяя правило Лопиталя к отношению , получаем = и так далее. Теорема имеет место и в том случае, если f(х) и (х) не определены при х = a, но f(х) = ∞, (х) = ∞, а также в случае а = ∞.Таким образом, правило Лопиталя можно применять к неопределенностям вида .