Асимптоты графика функций. Вертикальные асимптоты. Горизонтальные асимптоты. Наклонные асимптоты. Схема отыскания асимптот

Вертикальные прямые, к которым неограниченно приближается график функции, назыают вертикальными асимптотами. Чаще всего график имеет вертикальную ассимптоту x=a в случае, если выражение, задающее данную функцию, имеет вид дроби, знаменатель которой обращается в нуль в точке a, а числитель нет. Например, график функции f(x)=1/(x-1) имеет вертикальную ассимптоту x=1 · Вертикальные асимптоты. Для нахождения вертикальных асимптот графика данной функции нужно исследовать точки разрыва функции и точки, лежащие на границах области определения функции, и выяснить, при приближении аргумента к каким из этих точек значения функции стремятся к бесконечности. Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например:

Замечание: обратите внимание на знаки бесконечностей в этих равенствах.

Если график функции неограниченно приближается к некоторой горизонтальной или наклонной прямой при неограниченном возрастании аргумента по абсолютному значению, то такую прямую называют горизонтальной ассимптотой либо наклонной ассимптотой.

Например, для графика f(x)=1/(x²+1) горизонтальной ассимптотой будет являться прямая y=0.

· Наклонные и горизонтальные асимптоты. Горизонтальная асимптота — прямая вида при условии существования предела Если область определения D (f) вклоючает в себя лучи вида (a;+ ) или (− ;b), то можно попытаться найти наклонные асимптоты (или горизонтальные асимптоты) при x + или x − соответственно, т.е. найти limx f(x).()

Наклонная асимптота — прямая вида при условии существования пределов

Замечание: функция может иметь не более двух наклонных(горизонтальных) асимптот!

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ), то наклонной асимптоты при (или ) не существует!