Построение графиков функций. Общая схема исследования функций и построение графиков. Примеры

Графики функций можно строить "по точкам" - вычислять значения функции в большом количестве точек, отмечать их на координатной плоскости, а затем соединять их линиями. Однако, этот спосою неэффективен, так как требует большого количества вычислений, более того - в случае построения графика более или менее нетривиальной функции, он приведет к неизбежным ошибкам. можно с легкостью определять "ключевые" моменты поведения графика функции при помощи аналитических исследований. Это позволит сократить объем вычислений для построения графика, а так же, что главное, позволит избежать ошибок.

I)Сначала проведем исследование функции
1. Найти область определения и области значений функции.
2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, которые могли бы облегчить построение графика. Например, важны сведения, является ли функция четной или нечетной или периодической.
3. Вычислить координаты пересечения графика функции с осями координат.
4. Найти промежутки знакопостоянства функции.
5. Определить промежутки возрастания и убывания функции.
6. Найти точки экстремума (максимума и минимума) функции и вычислить в них значения функции.
7. Если у функции есть характерные точки, не входящие в ее область определения, то необходимо исследовать поведение функции в их окрестностях для того, чтобы понять, куда стремится значение функции при устремлении значения аргумента к этой (характерной) точке.

II)Далее Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

II)Построение графика.
Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =). Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.