Выпуклость и выгнутось, точки перегиба. Схема исследования на выпуклость

Если функция дважды дифференцируема на промежутке , то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

Функция f (x) называется выпуклой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит ниже касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x ₀, f (x ₀)), x ₀ (a, b).

Функция f (x) называется вогнутой на интервале (a, b), если её график на этом интервале лежит выше касательной, проведенной к кривой y = f (x) в любой точке (x ₀, f (x ₀)), x ₀ (a, b).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда: если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b); если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b).

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x ₀ существует вторая производная f '' (x ₀), то f '' (x ₀) = 0.

Схема исследования выпуклости Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.