Обобщающая символика при изучении математики в начальной школе

Требования ФГОС НОО ориентируют современную российскую начальную школу на овладение общими способами действий, ко­торые должны быть представлены соответствующими средствами. В число таких средств входит и обобщающая символика, которая позволяет коротко представить общий способ действий с числами и быстро считать его с записи. При применении обобщающей сим­волики дети учатся кодировать информацию о числах обобщенно и считывать ее так, что она может быть применена в составе общего способа действий. Благодаря этому у учащихся формируется обоб­щенное знание и обобщенные способы действий, в частности уни­версальные.

Необходимость специальной работы со знаково-символьными средствами познания, к которым относится обобщающая символи­ка, обусловлена требованиями ФГОС НОО. Примерная основная образовательная программа задает специальную группу универсаль­ных учебных действий: «Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия: • моделиро­вание — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространствен­но-графическая или знаково-символическая (выделено Е. Царевой)) • преобразование модели с целью выявления общих законов, опре­деляющих данную предметную область» (Примерная основная об­разовательная программа. — М., 2011. — С. 97 — 98). В предыдущих главах уже обсуждались модели разного рода, но не рассматривалась обобщающая, в том числе буквенная символика.

В математическом образовании младших школьников к исполь­зованию букв в качестве обозначения чисел в начальной школе под­ходят по-разному, от невключения буквенной и другой обобщающей символики в процесс обучения до явного и широкого ее использо­вания при изучении каждой темы, с обилием формул и буквенных выражений. Современные требования обусловливают обязательное присутствие в начальном обучении младших школьников обобщаю­щей символики, а степень и характер этого присутствия определяются учителем на основе многих обстоятельств. При выборе методическо­го подхода к включению обобщающей символики в обучение мате­матике нужно исходить из того, что ребенок лучше всего способен

понять назначение и смысл вводимых символов, когда проживает их рождение, когда они нужны ему самому как средство решения его проблем, возникших в процессе практической или учебно-по­знавательной деятельности. Получив опыт выражения некоторых утверждений письменно с помощью знаков, которые он сам выбрал, изобрел или участвовал в выборе или изобретении, опыт использо­вания своих знаков, учащийся сможет понять и принять и общепри­нятые буквенные.

Общепринятые буквенные обозначения чисел (обозначения бук­вами латинского алфавита) трудны для учащихся начальной школы по нескольким причинам. Первая заключается в том, что языковое понятие буквы — ключевое понятие обучения грамоте и русскому языку, с которым дети знакомятся только в школе или незадолго до школы. Буква здесь выступает как знак звуков. Абстрагироваться от этого ее значения начинающему школьное обучение еще трудно, даже если это буквы латинские, тем более, что наиболее используе­мые в математике а, b, x похожи на русские буквы. Со второго класса начинается изучение иностранного языка и буквы латинского алфа­вита также могут приобрести яркое «звуковое» значение, что может мешать восприятию их как знаки числа. Вторая причина — трудно­сти в написании. А вот простые условные знаки, например, кружки О, треугольники А, квадраты □, пятиугольники (домики) й, «сол­нышки» ф, рожицы ©, «сказочные числа» V" и другие знаки, кото­рые могут придумать дети, легки в написании (точнее, в рисовании), не обременены содержательными значениями, легко изобретаются, вызывают положительные эмоции.

Один из возможных вариантов представления обобщающей сим­волики в процессе обучения математике может быть таким, как по­казано далее.

Представление обобщающей символики. • А. Использование про­извольных символов в качестве обозначения количественных, поряд­ковых характеристик при изучении чисел и цифровой записи чисел. Применение обобщающей символики при изучении арифметических действий, способов вычислений, числовых выражений и их видов.

• Б. Введение и использование общепринятых буквенных обозначений для записи некоторых простейших практических ситуаций, введение условных, а потом и буквенных обозначений при обучении решению текстовых задач. • В. Введение понятий переменная, буквенное выраже­ние, числовое значение буквенного выражения. Изменение числового значения буквенного выражения при изменении значения переменной.

• Г. Рассмотрение равенства и неравенства на множестве числовых вы­ражений, на множестве числовых и буквенных выражений. • Д. Введе­ние понятий уравнения и решения (корня) уравнения. • Е. Использова­ние произвольной и буквенной символики в записи ранее изученных и новых свойств отношений между числами и свойств арифметических

444

действий. • Ж. Обучение решению простейших уравнений и неравенств с переменной. • З. Обучение решению текстовых задач с помощью со­ставления и решения уравнений и простейших неравенств.

Приведем примеры соответствующей работы (см. пп. А и Б) при обучении младших школьников математике. Планируемые результа­ты — метапредметные, универсальные учебные действия. Учащийся получит возможность научиться использовать простые произвольные символы для обозначения наблюдаемых количественных и порядко­вых отношений, действий с предметами, свойств отношений между числами и арифметических действий с числами. Возможные задания для достижения этих результатов.

Задания. А. 1. Сравнение групп предметов, сравнение предметов по длине, площади поверхности, объему, массе, времени. Смыслы числа: теоретико-множественный и величинный.

• (Работа в парах. На каждой парте три коробочки. В коробочке два вида мелких предметов (пуговицы двух видов, крупные бусины, камуш­ки, фасоль и т. п.)). Разделите предметы по видам в две другие коро­бочки и, не считая, определите, поровну ли предметов. Результат за­писать в тетради, используя знаки равенства и неравенства. Количество предметов каждого вида обозначить любым знаком-символом, который придумайте сами или выберите из изображенных на доске. Прежде чем начать работу, наметьте и обсудите способ ее выполнения.

• На рисунке (рисунок на доске, в учебнике, на карточках) два пред­мета, изображенные так, что возможно мысленное сравнение по одной из величин — длине, площади, объему или массе. Соответствующая ве­личина одного предмета обозначена ft, другого — ©. В записи «ft©» между символами нужно поставить соответствующий знак: =, < или >.

• Используя условные знаки, обозначьте арифметическими действи­ями действия с предметами. (Перед учащимися демонстрируются дей­ствия с предметами, соответствующие тем арифметическим действиям, которые к времени выполнения этого задания уже изучены.)

А. 2. Порядковый смысл числа и арифметических действий.

• Натуральные числа й и таковы, что й = А + 3. Покажите в на­
туральном ряду 1, 2, 3, …, А, … положение числа й, обозначив, если
нужно, «недостающие» числа.

Выполненное задание может выглядеть так: 1, 2, 3, …, А, (}, О, й, … Числа V, Q, X, б, 0 записаны в том порядке, в каком они стоят в на­туральном ряду. Запиши с помощью а) знаков равенства и неравен­ства и б) действий сложения и вычитания отношения между любыми двумя из них. (V" < б, б - V" = 3, V + 3 = б, V" = б - 3 и т. д.) Назови несколько натуральных чисел, которыми могли бы быть необычно обо­значенные числа.

А. 3. Свойства арифметических действий.

• Прочитайте записи: О + О = О + О (от перемены мест слагаемых
сумма не меняется; (О + О) + О = Ь + (О + 0) = (й + 0) + О = (О + 0) +

+ Ch = (О + (} ) + й (числа при сложении можно складывать в любом порядке); (V + О) - X = (V - X) + О = (О - ТГ) + V (чтобы из суммы вычесть число можно его вычесть из одного слагаемого и к результа­ту прибавить другое слагаемое). • Выполни вычитание 10 - 5, 8 - 5, 12 - 5 по образцу: 0 - 5 = 0 - 2 - 3. • Запиши предложения, исполь­зуя условные знаки: «Из неизвестного числа вычли 3 и получили 5», «К неизвестному числу вначале прибавили 4, а потом вычли 4. Какое число получилось в результате?», «К числу 10 прибавили однозначное число и получили двузначное число», «Задуманное число на 5 больше числа А. Чему равно задуманное число?»

Б. 1. • Введение буквенной символики. — Запишите условными знаками, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. (А + □ = □ + А). — В математике принято вместо условных знаков, кото­рые мы с вами использовали, когда надо сказать о некотором, любом числе или о неизвестном числе, использовать латинские буквы: a. b, с и другие. Замените в записи переместительного свойства условные значки на латинские буквы. — Запишите следующие предложения в один столбик с помощью условных знаков, а потом в другой столбик перепишите их, используя буквы латинского алфавита: «из неизвест­ного числа вычли 5»; «к числу 4 прибавили 7»; «из суммы двух чисел вычли третье число»; «одно число больше другого на 10»; «некоторое число уменьшили на 5». — Запишите 4 последовательных числа нату­рального ряда, обозначив первое число условным знаком; латинской буквой. (А, А + 1, А + 2, А + 3 или #, # + 1, ф + 2, Ф + 3; Ь, Ь + 1, Ь + 2, Ь + 3). — Прочитайте получившиеся записи. … — Какие записи читать удобнее — с условными знаками или с буквами? (Удобнее чи­тать с буквами. С условными знаками получается как-то несерьезно и неправильно: «сумма «солнышка» и числа два». А с буквами лучше: «Ь + 2 — к Ь прибавить 2, Ь увеличить на 2; сумма двух чисел Ь и 2; х + 7 = 12 — сумма х и семи равна двенадцати».)