Понятие о непрерывности функции

Вернемся к задаче определения мгновенной скорости в точке (см формулу (1)). Функция

не определена при Δt= 0. Но для числа L = v₀ — gt₀ при уменьшении |Δt| разность v_ср(Δt) - L приближается к нулю. Именно поэтому мы писали v_ср(Δt) → v₀ — gt₀ при Δt→0. Вообще говорят, что функция f стремится к числу L при х, стремящемся к x₀, если разность f(x) - L сколь угодно мала, т. е. |f(x) – L| становится меньше любого фиксированного hɬ при уменьшении |Δх|, где Δх = х—x₀. (Значение х=x₀ не рассматривается, как и в задаче определения мгновенной скорости.)

Вместо х→ x₀ можно, конечно, писать Δх→ 0.

Нахождение числа L по функции f называют предельным переходом. Вы будете иметь дело с предельными переходами в двух следующих основных случаях.

Первый случай — это предельный переход в разностном отношении Δf/Δx, т. е. нахождение производной. С этим пунктом мы познакопились в пункте производная.

Второй случай связан с понятием непрерывности функции. Если f(x) → f (х₀) при х→ x₀, то функцию называют непрерывной в точке х₀. При этом f(x) - L = f (x) - f (х₀) = Δхf; получаем, что |Δf| мало при малых |Δх|, т. е. малым изменениям аргумента в точке х₀ соответствуют малые изменения значений функции. Все известные вам элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Графики таких функций изображаются непрерывными кривыми на каждом промежутке, целиком входящем в область определения. На этом и основан способ построения графиков «по точкам», которым вы все время пользуетесь. Но при этом, строго говоря, надо предварительно выяснить, действительно ли рассматриваемая функция непрерывна. В простейших случаях такое исследование проводят на основании определения
17 вопрос: Полярная система координат. Уравнение линии, связь между полярными и декартовыми координатами
Полярная система координат
Полярная система координат – система плоских координат образованная направленным прямым лучом OX, называющимся полярной осью. Чаще всего за полярную ось принимают ось северного направления какого-либо меридиана. Начало координат - точка O - называется полюсом системы.
Положение любой точки в полярной системе определяется двумя координатами: радиусом-вектором r (или полярным расстоянием S) – расстоянием от полюса до точки, и полярным углом b при точке O, образованным осью OX и радиусом вектором точки и отсчитываемым от оси OX по ходу часовой стрелки.
Под полярным углом b в геодезии часто принимают дирекционный угол направления, с помощью которого определяют координаты точек и расстояния между ними.

Переход от прямоугольных координат к полярным и обратно для случая, когда начала обеих систем находятся в одной точке и оси OX у них совпадают, выполняется по формулам прямой геодезической задачи:

tgb = Y/X, b = arctg(Y/X)

Эти формулы получаются из решения треугольника OBA по известным соотношениям между сторонами и углами прямоугольного треугольника. Системы прямоугольных и полярных координат применяются в геодезии для определения положения точек на плоскости.